Matematické Fórum

jenicekpernicek · 19. 06. 2013 11:14

Zdravim, bojuju s nasledujici ulohou:

Bez řešení dané rovnice sestavte novou, která má dvojnásobné kořeny než rovnice:

$x^{3}-3x^{2}-2x+4=0$

Vim jak najit polynom, ktery nasobne koreny nema (podil polynomu a nejvetsiho spolecneho delitele polynomu a jeho derivace).
Dekuji za rady

Brano · 19. 06. 2013 11:30

Pouzi Vietove vztahy.
Ak mas polynom $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ tak ten sa da upravit na
$x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)-x_1x_2x_3$

a ako by saq zmenili koeficienty, keby tam boli korene $2x_1,2x_2,2x_3$ ?

jenicekpernicek · 19. 06. 2013 11:51

↑ Brano:
dekuji za pohotovou reakci, nicmene nepobiram. nevidim souvislost s tim prikladem, co jsem uvedl. presto diky. muzes to nejak rozepsat?

jenicekpernicek · 19. 06. 2013 11:58

↑ Brano:
matne se chytam, nicmene zadani je myslene tak, ze koreny jsou nasobnosti dva, nikoliv ze jsou "dvakrat tak velke". nedoslo k nedorozumeni?

Brano · 19. 06. 2013 12:11 — Editoval Brano (19. 06. 2013 12:11)

Ak by to bolo tak ako pises, tak zadanie nieje uplne jednoznacne, lebo nehovori, ze co v pripade ak tam uz je nejaky koren nasobnosti 2, cize musime akoze verit, ze nie je, alebo si to overit - napr. cez ten podiel ako si spominal.

Ked uz si overime, ze zadany polynom nema nasobne korene potom ho staci uz dat iba na druhu, t.j.
$(x^{3}-3x^{2}-2x+4)^2$
a kazdy koren bude prave dvojnasobny.

A to sa mi zda trochu moc trivialne, cize si si isty, ze sa to takto myslelo?

Honzc · 19. 06. 2013 12:15 — Editoval Honzc (19. 06. 2013 12:17)

↑ jenicekpernicek:
Stačí si uvědomit následující:
aby kořeny byly dvojnásobné pak
koeficient u $x^{3}$ musí být $2^{0}=1$ x větší než původní (tedy stejný)
koeficient u $x^{2}$ musí být $2^{1}=2$ x větší než původní
koeficient u $x^{1}=x$ musí být $2^{2}=4$ x větší než původní
koeficient u $x^{0}=1$ musí být $2^{3}=8$ x větší než původní
To vyplývá z roznásobení rovnice $(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0$ kde $x_{1},x_{2},x_{3}$ jsou kořeny původní rovnice a $2x_{1},2x_{2},2x_{3}$ té nové.
Tedy nová rovnice bude:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jenicekpernicek · 19. 06. 2013 12:39

dekuji za trpelivost panove, jiz chapu, trosku sem bojoval se znaminkama u jednotlivych clenu polynomu..

jarrro · 19. 06. 2013 12:42

tak ako je to formulované by som práve očakával "dvakrát tak veľké" korene teda

jenicekpernicek · 19. 06. 2013 12:58

o par radku niz jsem nasel podobne cviceni, kde maji byt koreny noveho polynomu druhymy mocninami korenu zadaneho polynomu. postuji analogicky, ale nejsem schopen zjistit jak se zmeni koeficienty.

pro druhy clen dostavam z vietovych vzorcu $-(x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2})=(x_{1}x_{2}x_{3})^{2}$ hadal bych tak ze koeficient se zmeni tedy prave s druhou mocninou, nicmene dalsi koeficienty jsou problematicke: $(x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}^{2})=?$

diky

jarrro · 19. 06. 2013 13:09

ak som niekde nespravil chybu tak
$(x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}^{2})=$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$^2-2$x_1+x_2+x_3$x_1x_2x_3$

Brano · 19. 06. 2013 16:45 — Editoval Brano (19. 06. 2013 16:46)

↑ jenicekpernicek:
to by naznacovalo, ze to povodne cvicenie by malo byt tak ako sme to povodne pochopili, t.j. ze korene maju byt $2x_1,2x_2,2x_3$ ... to sa teda uz podarilo uzavriet? aby sme zbytocne nezacinali dalsie kym sa jedno nedokonci.

jenicekpernicek · 20. 06. 2013 20:13

↑ Brano:

ano, muzes to zavrit, diky moc

Brano · 20. 06. 2013 21:48

↑ jenicekpernicek:
:-) temu mozes uzavriet ty alebo moderator. Ja som sa pytal metaforicky a mal som tym na mysli ci si to uz vyriesil, lebo sa mi zdalo, ze debata zachadza dalej od pointy. Co je fajn ak povodna otazka uz bola uspokojivo doriesena.

Matematické Fórum

#1 19. 06. 2013 11:14

Nasobne koreny rovnice

#2 19. 06. 2013 11:30

Re: Nasobne koreny rovnice

#3 19. 06. 2013 11:51

Re: Nasobne koreny rovnice

#4 19. 06. 2013 11:58

Re: Nasobne koreny rovnice

#5 19. 06. 2013 12:11 — Editoval Brano (19. 06. 2013 12:11)

Re: Nasobne koreny rovnice

#6 19. 06. 2013 12:15 — Editoval Honzc (19. 06. 2013 12:17)

Re: Nasobne koreny rovnice

#7 19. 06. 2013 12:39

Re: Nasobne koreny rovnice

#8 19. 06. 2013 12:42

Re: Nasobne koreny rovnice

#9 19. 06. 2013 12:58

Re: Nasobne koreny rovnice

#10 19. 06. 2013 13:09

Re: Nasobne koreny rovnice

#11 19. 06. 2013 16:45 — Editoval Brano (19. 06. 2013 16:46)

Re: Nasobne koreny rovnice

#12 20. 06. 2013 20:13

Re: Nasobne koreny rovnice

#13 20. 06. 2013 21:48

Re: Nasobne koreny rovnice

Zápatí