Matematické Fórum

Dopikasan · 17. 06. 2013 23:04

Určete nejmenší a největší hodnotu funkce $f(x,y)=x^2-xy+y^2$ na množině M určené podmínkou $|x|+|y|\le 1$ .
Dále ověřte zda-li má funkce f lokální extrémy.

Moc teda nerozumím co je myšleno nejmenší a největší hodnota funkce.

řešil jsem to:
$f'x=2x-y=0$
$f'y=2y-x=0$

z toho bod podezřelý z extrému $[0,0]$

$f''xx=2$
$f''yy=2$
$f''xy=-1$
pomocí sylvestrova kritéria (tuším), že $D_{1}>0 \Rightarrow$ existuje extrém
$D_{2}>0 \Rightarrow$ lokální minimum v bodě $[0,0]$ .

tedka si nejsem jistej jak mám najíst absolutní extrémy.
obrazec bude vypadat nějak takhle (plus samozřejmě i vnitřek obrazce, ale nevím jak se ve wolframu zadává menší a rovná se Odkaz

hranice množiny budou tedy $(-1,0);(1,0);(0,1);(0,-1)$ ale nevím jak zjistit jestli tam mají absolutní maxima a minima.
pokud jsem tyto body dosadil do zadané funkce f vyšlo mi u každého bodu hodnota 1 což asi nebude správně.

Děkuji za návod řešení.

Rumburak

Množina $M$ je omezená a uzavřená, tedy kompaktní, funkce $f$ je spojitá, takža absolutní extrémy funkce $f$ na této množině existují.
Bod $[0, 0]$ jako jediný kandidát na extrém uvnitř množiny $M$ vyšel správně. To zmiňované kriterium si příliš nepamatuji (v zápise
z přednášky mám u něj jako poznámku názor přednášejícího: "je to věta na nic"). Že v bodě $[0, 0]$ a pouze v něm funkce nabývá
absolutního minima lze zjistit takto:

$f(x,y)=x^2-xy+y^2 = x^2- 2\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}\cdot\frac{y}{\sqrt{2}}+y^2=\frac{x^2 + y^2}{2} + $\frac{x}{\sqrt{2}} - \frac{y}{\sqrt{2}}$^2 \ge 0$ ,
$f(0, 0) = 0$ .

Zbývá vyšetřit situaci na hranici množiny $M$ , tedy na množině určené rovnicí $|x|+|y|= 1$ složené ze čtyř úseček vyjádřených rovnicemi

$y = 1 - x , x \in \langle 0 , 1\rangle$ ,

$y = 1 + x , x \in \langle -1 , 0\rangle$ ,

$y = -1 + x , x \in \langle 0 , 1\rangle$ ,

$y = -1 - x , x \in \langle -1 , 0\rangle$ ,

postupným dosazením do předpisu funkce $f$ dostaneme čtyři funkce jedné proměnné $x$ probíhající příslušné intervaly,
jejichž průběh vyšetříme metodami pro funkce jedné proměnné.

Bati · 18. 06. 2013 12:35 — Editoval Bati (18. 06. 2013 12:36)

Doplním, že stačí vyšetřovat množiny, kde $y=1-x$ nebo $y=-1+x$ , $x\in[0,1]$ , neboť pro f platí $f(-x,y)=f(x,-y)$ a $f(-x,-y)=f(x,y)$ .

Dopikasan

↑ Bati:
↑ Rumburak:
nemužu si vzpomenout jak se dělají extrémy jedné proměnné :(
když to zderivuju vyjde mi všude 1 nebo -1 . to asi není správná cesta?

edit:
ve výsledkách je Absolutní maximum: [0;-1]; [0; 1]; [-1; 0]; [1; 0]
Absolutní minimum (i lokální): [0; 0]

Díky za objasnění postupu

Bati · 18. 06. 2013 22:36

↑ Dopikasan:
A derivuješ f?

Dopikasan · 18. 06. 2013 22:39

↑ Bati:
cože? :) nerozumím sorry

Bati · 18. 06. 2013 22:50

↑ Dopikasan:
Jakou funkci jsi derivoval?

Dopikasan · 18. 06. 2013 23:03

↑ Bati:
aha, no y=1+x
nebo co bych měl derivovat? :P

Bati · 19. 06. 2013 09:02

Tu funkci, u které chceš zjistit extrémy přece. Takže f. Do ní akorát dosadíš tu vazbovou podmínku, abys měl zajištěno, že to řešíš jen na té množině.

Dopikasan · 19. 06. 2013 09:33

↑ Bati:
aha takže jsem udělal dosazení $y=1-x$
$f(x,y)=x^2-x(1-x)+(1-x)^2$
po upravě $f(x,y)=x^3-3x+1$

tedka bych měl zjistit jaký tam je extrém?
jenom nevím jak.

Bati · 19. 06. 2013 13:29

Zjistíš, ve kterých bodech derivace f neexistuje nebo je nulová. To budou podezřelé body, v nichž zjistíš hodnoty f a ty pak porovnáš. To se dělá na střední.

Dopikasan · 19. 06. 2013 14:10

↑ Bati:
na střední jsme to nebrali.

můj postup: zderivoval jsem to a položil rovno nule tedy: $3x^2-3=0$ z toho jsou kořeny $x_{1,2}=\pm 1$

tedka budu dosazovat do první derivace abych zjistil jestli klesá nebo roste.

-2= roste
0=klesá
2=roste

takže extrém je v bodě -1?

moc tomu nerozumím, kdyby ses prosím rozepsal :)

Bati · 19. 06. 2013 14:15

Lokální extrém bude i v bodě 1 přece. Tebe navíc zajímají jen body z intervalu [0,1], takže už jen zbývá porovnat hodnotu f(0) a f(1).

Dopikasan · 19. 06. 2013 15:36

↑ Bati:
f(0)=-3
f(1)=0

To znamena ze tam je lokalni maximum?
Extrem by tam nebyl kdyby f(0) a f(1) vysly nula?

Dopikasan · 19. 06. 2013 17:56

↑ Bati:
mohl bys mi napsat řešení pokud to mám špatně ?

Rumburak

↑ Dopikasan:

Když hledáme extrém funkce jedné proměnné na uzavřeném intervalu, pak "podezřelými" budou

(1) body, v nichž derivace je rovna 0 nebo neexistuje,
(2) krajní body intervalu (o tom se kolega ↑ Bati: patrně opomněl zmínit).

Jestliže hledáme pouze absolutní extrémy, pak stačí v podezřelých bodech porovnat jejich funkční hodnoty,
takže např. v podezřelém bodě s nejmenší funkční hodnotou bude absolutní minimum na této množině.
Obdobně když takových intervalů máme více, jako v našem případě.

Dopikasan · 20. 06. 2013 12:59

↑ Rumburak:
↑ Dopikasan:

možná tomu rozumím už, jen pro kontrolu na intervalu $(0,1)$ první derivace která je $3x^2-3=0$ zvolim $1/2$ kterou dosadím do prnví derivace abych zjistil jestli tam je lokální max nebo min.
vyjde mi to $3/4-3$ což je rozhodně záporné takže tam je lokální maximum?

stejně udělám všechny další 3 body které jsou podezřelé z extremu ?

Rumburak · 20. 06. 2013 17:11

↑ Dopikasan:

Abychom si rozuměli, shrňme fakta.
Množina určená nerovnicí $|x|+|y|\le 1$ je čtverec s vrcholy $A[1, 0], B[0, 1], C[-1, 0], D[0, -1]$ (doporučuji nakreslit).

Vezměme třeba stranu $AB$ , která je vyjádřena rovnicí $y = 1-x , x \in \langle 0 , 1 \rangle$ . (Každý bod této úsečky je takto jednoznačně určen
svojí x-ovou souřadnicí, např. bod $A$ získáme volbou $x = 1$ , bod $B$ volbou $x =0$ .) Funkce $f(x,y) :=x^2-xy+y^2$

má na této úsečce tvar

$f(x, 1-x) = x^2-x(1-x)+(1-x)^2 = x^2 -x + x^2 + 1 -2x + x^2 = 3x^2 -3x +1$ .

Položíme-li tedy $g(x) := f(x, 1-x) = 3x^2 -3x +1$ , pak vyšetřít průběh funkce $f$ na úsečce $AB$ je de facto totéž jako
vyšetřit průběh funkce $g$ na intervalu $\langle 0 , 1 \rangle$ . Takto budeme nyní postupovat.

K bodům podezřelým na extrém funkce $g$ na intervalu $\langle 0 , 1 \rangle$ nutno zařadit jeho krajní body, tedy body $0$ a $1$ .
Uvnitř uvedeného untervalu budeme dále hledat body, v nichž $g'$ buťto neexistuje nebo je rovna 0 . První z těchto podmínek nám zde žádný
podezřelý bod nedá, protože funkce $g$ má derivaci v každém bodě, a sice $g'(x) = 6x-3$ . Druhá z podmínek, tj. $g'(x) = 0$ , vede
k rovnici $6x-3 = 0$ , jejíž řešení $x = \frac{1}{2}$ patří do intervalu $\langle 0 , 1 \rangle$ .
Veškeré body, v nichž by funkce $g$ mohla mít na intervalu $\langle 0 , 1 \rangle$ extrém, jsou tedy $0 , 1, \frac{1}{2}$ , jimž odpovídají body $B, A, \[\frac{1}{2} , \frac{1}{2}\]$
úsečky $AB$ .

Obdobně bychom na zbývajících stranách čtverce našli zbývající kandidáty pro extrémy funkce $f$ na HRANICI uzavřeného čtverci $ABCD$ .
Když k nim přidáme vnitřní bod $[0 , 0]$ zařazený mezi kandidáty na extrém PŘES CELÝ ČTVEREC již dříve, bude množina všech těchto kandidátů
kompletní. Označme ji $K$ .

Pokud by nás zajímaly i všechny lokální extrémy, museli bychom v okolí každého bodu množiny $K$ vyšetřit chování funkce $f$ . Když hledáme pouze
absolutní extrémy (o nichž v tomto případě víme, že existují), stačí spočíst hodnoty $f(X) ; X \in K$ a najít mezi nimi největší a nejmenší.

POZNÁMKA. Zda funkce $g$ jedné proměnné nabývá lokálního extrému v bodě $x$ , kde $g'(x) = 0$ , se dá (často) poznat podle hodnoty $g''(x)$ ,
pokud existuje. Kladná hodnota dává lokální minimum, záporná lokální maximum. Ale u funkcí více proměnných je situace o dost složitější.

Dopikasan · 20. 06. 2013 23:49

↑ Rumburak:
díky za podrobný vysvětlení, je mi vše jasné kromě toho jestli teda v bodě $(1,0)$ je absolutní extrém nebo ne?
pokud do rovnice $6x-3$ dosadim polovinu intervalu $(1,0)$ což je $1/2$ vyjde mi nula takže nevím jeslti tam je maximum nebo minimum?

jelena · 21. 06. 2013 09:09

Zdravím v tématu,

↑ Dopikasan:

pana Fiňka bys měl jednou přečíst :-) Schválně, kde o tom pojednává?

K poslednímu příspěvku ↑ 19:. Výraz $6x-3$ je zápis 1. derivace, tedy pokud do tohoto zápisu dosazuješ $1/2$ , což je jeho nulový bod, tak hodnota výrazu je 0 (jak jinak). Pokud chceš ověřit kvalitu extrému v bodě $x=\frac12$ , potom musíš ověřovat znaménko 1. derivace před a po tomto bodu, ale pořád na intervalu od 0 do 1. Tedy např. před je $x=\frac13$ , po je $x=\frac23$ . Jak tedy dopadl bod $x=\frac12$ ?

Pro ověření, zda na hranici intervalu je maximum nebo minimum, stačí "hraniční x" dosazovat do předpisu funkce a porovnat funkční hodnoty. Proč nepoužiješ hodnotu před nebo po hraniční intervalu? Protože již jedna z nich na intervalu není a Tebe nezajímá, že soused má větší švestky (porovnáváš jen své švestky rostoucí u plotů, u sloupků plotů v rozích a uprostřed zahrady).

Tedy na intervalu $\langle 0 , 1 \rangle$ do předpisu funkce $g(x) := f(x, 1-x) = 3x^2 -3x +1$ dosazuješ postupně $x=0$ , $x=\frac12$ , $x=1$ . Jak to dopadlo u jednotlivých hodnot funkce? Děkuji.

Dopikasan · 21. 06. 2013 10:49

↑ jelena:

aha, já to dosazoval do první derivace :X

takže já si vyjádřím předpis funkce $g(x) := f(x, 1-x) = 3x^2 -3x +1$ kam dosadím body z intervalu $(0,1)$ ?
pokud funkční hodnota je největší na krajích intervalu tedy v nule nebo jedničce je to globální extrém? pokud uvnitř intervalu je to jak lokální tak globální extrém?

$f(0)=1$
$f(1/2)=1/4$
$f(1)=1$

jelikož jsou největší hodnoty na krajích intervalu jedná se o globální(absolutní) maximum?

pana Fiňka bys měl jednou přečíst :-) Schválně, kde o tom pojednává?

Teorie v jeho scriptech je pro mě místy dost nejasná a je tam málo ukázkových příkladů na kterých je to ukázané.

Rumburak

↑ Dopikasan:

Ten interval je zde vhodné brát jako uzavřený. Dále je třeba psát

$q(0)=1$ ,
$g(1/2)=1/4$ ,
$g(1)=1$

(funkce $f$ je funkcí dvou proměnných) - takovéto chyby, zvláště jsou-li notoricky opakovány, mohou být příčinou vyhazovu od zkoušky.

Výsledky uvedených výpočtů můžeme vyhodnotit třeba takto:

Funkce $g$ je spojitá na uzavřeném interval $J := \langle 0, 1\rangle$ , což je kompaktní množina, takže existují body $a, b \in J$ takové , že

$g(a) = \min_{x \in J} g(x) , g(b) = \max_{x \in J} g(x)$ .

Body $a, b$ nutno hledat v množině $\{ 0 , 1 , 1/2 \}$ sestavené z bodů podezřelých na extrém, tj. z krajních bodů jntervalu $J$ ,
z bodů, kde $g'(x) = 0$ a z bodů, kde $g'(x)$ neexituje (takové body zde ale nejsou) .
Porovnáním funkčních hodnot máme $a = 1/2$ , pro bod $b$ dostáváme 2 řešení: $b_1 = 0 , b_2 = 1$ . Jde o extrémy absolutní
(neboli extrémy globální) funkce $g$ na množině $J$ a bylo-li jich dosaženo na hranici této množiny či ne, není to pro jejich kvalifikaci
nijak podstatné). Každý z nich je samozřejmě i extrémem lokálním , při čemž žádné další lokální extrémy neexistují (stále ještě hovoříme
pouze o extrémecch funkce $g$ na množině $J$ ) .

Dokud toto nebude pochopeno bezezbytku, nemá smysl pouštět se dál. Doporučuji pečlivě si prostudovat teorii včetně definic oněch pojmů.

jelena · 21. 06. 2013 11:53

↑ Dopikasan:

takové drobnosti: kam dosadím krajní body intervalu $\langle 0 , 1 \rangle$ (závorka musí být uzavřená, ne okrouhlá).

Ještě pro pořádek - abychom neztratili, že vyšetřujeme funkci $f(x,y)=x^2-xy+y^2$ , tak po nalezení $x=0$ , $x=\frac12$ , $x=1$ a k nim odpovídajících hodnot y dosazujeme x a y do předpisu zadané funkce, jelikož v důsledku budeme posuzovat hodnotu funkce na všech bodech, co jsme našli i na lokálním extrému uvnitř množiny: $[0,0]$ . Také celkem máme došetřit každou stranu čtverce - ale to už myslím bylo řečeno.

Toto se mi zdá přehledné dost a hodnocení extrému jsi provedl ve stejném smyslu, jako v odkazu.

Teď z náhledu vidím kolegu Rumburaka, zdravím, děkuji a příspěvek ponechám jen pro seznámení s materiály učitele pana kolegy, zda jsou opravu tak nepřehledné. Omluva za vstup.

Dopikasan · 21. 06. 2013 15:07

↑ Rumburak:
moc se omlouvám, že jsem tak strašně moc hloupej, ale jak tedy určím jestli ten extrém je absolutní maximum nebo minimum? když funkční hodnoty $q(0)=1$ $g(1/2)=1/4$ $g(1)=1$ jsou kladné tak má být absolutní minimum?

jelena · 21. 06. 2013 16:45

Dopikasan napsal(a):
když funkční hodnoty $q(0)=1$ $g(1/2)=1/4$ $g(1)=1$ jsou kladné tak má být absolutní minimum?

Když funkční hodnoty jsou kladné, tak jsou kladné. Z tohoto faktu žádný závěr o maximumu nebo minimu neuděláš. V tomto kroku již porovnáváš přímo hodnoty funkce - která je z hodnot největší, nejmenší? Zde vidíme, že $q(0)=1$ a $g(1)=1$ mají stejnou hodnotu (1) a žádná hodnota funkce na tomto intervalu není větší. je tedy splněna DEFINICE 6.30 (p. Finěk).

Naopak $g(1/2)=1/4$ je nejmenší hodnota na intervalu (navíc pomocí změny znamének 1. derivace jsme prokázali, že přechodem přes tento bod 1. derivace změní znaménko z (-) na (+), tedy to bylo lokální minimum. Je to zároveň i absolutní minimum na intervalu. Je splněna DEFINICE 6.32 (p. Finěk).

Ovšem tak jsme vyšetřili pouze úsečku čtverce pro x na intervalu $\langle 0 , 1 \rangle$ . Nesmíme zapomenout dovyšetřit další úsečky (opět opakuji, bylo doporučeno usnadnění) a hodnotu funkce $f(x,y)=x^2-xy+y^2$ v bodě $[0,0]$ . Potom je nejlepší si sestavit tabulku hodnot funkce $f(x,y)=x^2-xy+y^2$ pro každý podezřelý bod, co byl vyšetřován a zkontrolovat, že jsme nevynechali nic (vnitřní oblast, hranici (čtverec), vrcholy čtverce).

OT: pro kolegu Rumburaka: Pan Finěk - TUL - Liberec - Ještěd - doplň závěrečnou asociaci, prosím :-)

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2013 23:04

Lokální a absolutní extrémy

#2 18. 06. 2013 12:07 — Editoval Rumburak (18. 06. 2013 13:44)

Re: Lokální a absolutní extrémy

#3 18. 06. 2013 12:35 — Editoval Bati (18. 06. 2013 12:36)

Re: Lokální a absolutní extrémy

#4 18. 06. 2013 22:32 — Editoval Dopikasan (18. 06. 2013 22:38)

Re: Lokální a absolutní extrémy

#5 18. 06. 2013 22:36

Re: Lokální a absolutní extrémy

#6 18. 06. 2013 22:39

Re: Lokální a absolutní extrémy

#7 18. 06. 2013 22:50

Re: Lokální a absolutní extrémy

#8 18. 06. 2013 23:03

Re: Lokální a absolutní extrémy

#9 19. 06. 2013 09:02

Re: Lokální a absolutní extrémy

#10 19. 06. 2013 09:33

Re: Lokální a absolutní extrémy

#11 19. 06. 2013 13:29

Re: Lokální a absolutní extrémy

#12 19. 06. 2013 14:10

Re: Lokální a absolutní extrémy

#13 19. 06. 2013 14:15

Re: Lokální a absolutní extrémy

#14 19. 06. 2013 15:36

Re: Lokální a absolutní extrémy

#15 19. 06. 2013 17:56

Re: Lokální a absolutní extrémy

#16 20. 06. 2013 09:20 — Editoval Rumburak (20. 06. 2013 09:22)

Re: Lokální a absolutní extrémy

#17 20. 06. 2013 12:59

Re: Lokální a absolutní extrémy

#18 20. 06. 2013 17:11

Re: Lokální a absolutní extrémy

#19 20. 06. 2013 23:49

Re: Lokální a absolutní extrémy

#20 21. 06. 2013 09:09

Re: Lokální a absolutní extrémy

#21 21. 06. 2013 10:49

Re: Lokální a absolutní extrémy

#22 21. 06. 2013 11:46 — Editoval Rumburak (21. 06. 2013 11:50)

Re: Lokální a absolutní extrémy

#23 21. 06. 2013 11:53

Re: Lokální a absolutní extrémy

#24 21. 06. 2013 15:07

Re: Lokální a absolutní extrémy

#25 21. 06. 2013 16:45

Re: Lokální a absolutní extrémy

Dopikasan napsal(a):

Zápatí