Matematické Fórum

Optix · 19. 06. 2013 18:38

Ahoj, potřeboval bych najít nějakou diferenciální řádu, klidně úplně triviální, která bude mít jednoznačné řešení.

Nevím jestli se tím myslí zadání počátečních podmínek teda jako například $y'=cos(x), y(0)=0$ nebo co se tím myslí? Pak tedy dif. rovnice s ne jednoznačným řešením je rovnice bez počátečních podmínek??
Nebo se na to dívám špatně?

Předem děkuji za pomoc :))

Dopikasan · 19. 06. 2013 18:57

↑ Optix:
$y(0)=0$ je zadání počátečních podmínek

spočítáš si obecné řešení, partikulární
nevim jak se to ted značí ale celková diferenciální rovnice =obecné řešení + partikulární řešení a tam dosadíš ty počáteční podmínky a to za y=0 a x=0

Jj · 19. 06. 2013 19:26

↑ Optix:

Myslím, že neuvažujete správně.

Podle Rektoryse:

Jednoznačné řešení (v daném intervalu) = jedním bodem prochází jedna integrální křivka

Nejednoznačné = bodem prochází více integrálních křivek (integrální křivka, v jejímž každém bodě je porušena jednoznačnost řešení = singulární integrál dané rovnice).

Např. rovnici $y'=\sqrt[3]{y^2}$

vyhovují funkce
$y\equiv 0$ , tj. osa x,
a
$y=\frac{1}{27}(x-C)^3$

Funkce $y\equiv 0$ je singulárním integrálem zadané rovnice, protože každým jejím bodem (C,0) prochází ještě druhý integrál dané rovnice.

Optix · 19. 06. 2013 22:24

dobře takže tato rovnice nemá jednoznačné řešení protože se řešení protínají na ose x, jestli to chápu správně pak rovnice s jednoznačným řešením bude něco ve tvaru $y(x)=Ke^{\lambda x}$ například... ano?

Jj · 20. 06. 2013 12:55

↑ Optix:

Rovnice $y(x)=Ke^{\lambda x}$ není diferenciální rovnicí, možná výsledek řešešení nějaké rovnice, čili těžko říci, zda "původní rovnice" má jednoznačné řešení.

Bude - li diferenciální rovnice třeba

$y'=\lambda y$

pak má jedoznačné řešení $y(x)=Ke^{\lambda x}$

Např. u lineárních rovnic

y' + a(x)y = b(x)

je (podle Rektoryse) zaručena existence a jednoznačnost řešení v intervalu (který může být i nekonečný), v němž jsou funkce a(x) a b(x) spojité.

Optix · 20. 06. 2013 14:45

ano přesně tak jsem to myslel jako již řešení diferenciální rovnice, ale dobře děkuji za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 19. 06. 2013 18:38

Jednoduchá diferenciální rovnice

#2 19. 06. 2013 18:57

Re: Jednoduchá diferenciální rovnice

#3 19. 06. 2013 19:26

Re: Jednoduchá diferenciální rovnice

#4 19. 06. 2013 22:24

Re: Jednoduchá diferenciální rovnice

#5 20. 06. 2013 12:55

Re: Jednoduchá diferenciální rovnice

#6 20. 06. 2013 14:45

Re: Jednoduchá diferenciální rovnice

Zápatí