Matematické Fórum

Castiello

Zdravím,
prosím o pomoc s následujícím příkladem:

Jaká je spojitá L2-aproximace lineární fcí $\varphi (x) =c_{0}x+c_{1}$ pro fci $f(x)=x^4$ na intervalu <-1;1>.
Začátek:
$-2\int_{-1}^{1}(x^4-c_{0}x-c_{1})x dx$
$-2\int_{-1}^{1}(x^4-c_{0}x-c_{1}) dx$

po integraci:
$-2[(\frac{x^6}{6}-c_{0}\frac{x^3}{3}-c_{1}\frac{x^2}{2}) ]$ meze od -1 do 1
$-2[(\frac{x^5}{5}-c_{0}\frac{x^2}{2}-c_{1}x) ]$ meze od -1 do 1

A po pár drobných úpravách má vyjít :
$\varphi (x)=0,2$

No ale to mi bohužel ne a ne vyjít, můžete dát radu, popř. odkázat na nějaký postup na webu/ebook/pdf apod.?
Předem díky

Brano · 21. 06. 2013 00:16 — Editoval Brano (21. 06. 2013 00:17)

$0=\[\frac{x^6}{6}-c_{0}\frac{x^3}{3}-c_{1}\frac{x^2}{2}\]_{-1}^1=-\frac{2}{3}c_0$ , teda $c_0=0$
a
$0=\[\frac{x^5}{5}-c_{0}\frac{x^2}{2}-c_{1}x\]_{-1}^1=\frac{2}{5}-2c_1$ , teda $c_1=0.2$
cize $\varphi=c_0x+c_1=0.2$

Castiello · 22. 06. 2013 14:39

↑ Brano:
Výborné, díky, už to vidím. Jen nějak nerozumím tomu, kam zmizeli ty -2 (mají tam vůbec být?-odkoukal jsem to z nějakého postupu na webu)

Brano · 22. 06. 2013 16:10 — Editoval Brano (22. 06. 2013 16:14)

$-2*\text{cosi}=0\Leftrightarrow\text{cosi}=0$
objavia sa tam z derivacie ... ci ty si si tie vztahy neodvodzoval? mozem pripadne napisat postup.

sik23 · 25. 06. 2013 16:04

Mohu se zeptat, proč jste napsali před integrál tu -2? L2-aproximace jsem se učil před pár lety a už jsem z toho vypadnul (potřebuju se ji naučit k přijímačkám). Děkuji za vysvětlení

Brano · 25. 06. 2013 18:23

Chceme aproximovat $f(x)$ nejakou funkciou ktora je linearna v parametroch napr. polynomom 1. stupna t.j.
$px+q$ , kde $p,q$ su parametre; na intervale $[a,b]$

Teda chceme najst take $p,q$ aby
$F(p,q)=\int_a^b(f(x)-px-q)^2dx$
bolo minimalne
a minimum budeme hladat tak, ze derivacie $F$ podla $p$ a $q$ polozime rovne 0. Teda
$0=\frac{\partial}{\partial p}F(p,q)=-2\int_a^b(f(x)-px-q)xdx$
$0=\frac{\partial}{\partial q}F(p,q)=-2\int_a^b(f(x)-px-q)dx$