Matematické Fórum

O.o · 13. 01. 2009 13:09 — Editoval O.o (13. 01. 2009 14:09)

Ahoj .),

měl bych dotaz na jeden příklad, teď tu nad ním přemýšlím.

Zadání je:

napište rovnici tečny v bodě (1; -2) k integrální křivce diferenciální rovnice $y'=xy+y^2$ , která prochází bodem (1; -2). Nalezněte alespoň jedno řešení dané diferenciální rovnice.

Opsal jsem celé zadání, ale potřeboval bych jen postrčit s tou tečnou, řešení dif. rovnice bych už zvládnul, jen si nejsem jistý první částí.

Já jsem přemýšlel asi takto:

Hledám rovnici tečny ve tvaru $y=kx+q$ , kde k je směrnice přímky (z první derivace).

Bral jsem to tak, že derivaci mám vyjádřenou dif. rovnicí, tak jsem jen dosadil bod, kterým prochází tečna.

$k=y'=-2+4=2$

Poté tedy: $y=2x+q$

Znovu jsem dosadil bod tečny (nevím, jestli jsem ten bod nepoužil nějajk mockrát .)):

$-2=2+q \ \Rightarrow \ q=-4 \ \rightarrow \ y=2x-4$

Ale je to jen tip, nevím jestli se nemá nejprve řešit diferenciální rovnice a pak spíš použít řešení dif. rovnice, jako křivku, ke které mám zjišťovat tečnu?

Prosím vás o radu, nějak nevím, jak bych s tím hnul .)

Děkuji..

EDIT:

Zjistil jsem, že danou dif. rovnici neumím vyřešit (jen ji samotnou) - u nás jsme se tenhle typ neučili. Tudíž mne to vedlo k zamyšlení, že se to dá vyřešit nějak velmi jednoduše, když po nás nechtějí obecné řešení, ale pouze jedno, jen nevím, jak na něj, tak pokud bych mohl poprosit o nakopnutí i v tomto směru, tak bych byl velmi vděčný.

kaja.marik

Je to Bernoulliova rovnice, resi se transformaci na linearni, zkuste wikipedii nebo google.

pro zobrazeni reseni zkuste tohle
Ten postup s tecnou je dobre - hlavni myslenka, scitani a odecitani jsem nekontroloval
dalsi moznost jak napst rovnici tecny je to, cemu se anglicky rika point-slope form
$y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0$
Potom ten bod pouzijete jenom jednou :)

O.o · 13. 01. 2009 15:22

↑ kaja.marik:

Mohl bych se jen zeptat, u té rovnice tečny, jak jsi psal, tak když do derivace dosadím x souřadnici tečného bodu, tak mi tam zůstanou y, nějak se dostanu na trochu zvláštní tvar, tak jen jestli správně dosazuji?

$y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0 \nl y=(y+y^2)(x-1)-2=xy-y+y^2x-y^2$

Dosazuji to správně? nějak se mi ten tvar nelíbí (tedy, dále jsem to teď neupravoval, jdu kutit oběd .)).

Nakoenc tedy ještě děkuji za rady .)

Radek · 13. 01. 2009 15:39

↑ O.o:

Do té derivace musíš dosadit za x i y.

kaja.marik · 13. 01. 2009 15:43

↑ O.o:
Jdou Vam spatne hodinky :)

y'(x_0) je $y'(x_0)=x_0y_0+y_0^2=-2+4=2$

O.o · 13. 01. 2009 16:05

↑ kaja.marik:

Já jsem si to říkal, jen jsem nebyl úplně jistý s tím zápisem původně, tak to nakonec ještě možná i vyjde stejně .)

Hodink jdou správně, oběd se někdy trochu protáhne do pozdějších hodin .)

Děkuji

Matematické Fórum

#1 13. 01. 2009 13:09 — Editoval O.o (13. 01. 2009 14:09)

Tečna k integrální křivce

#2 13. 01. 2009 14:12 — Editoval kaja.marik (13. 01. 2009 14:13)

Re: Tečna k integrální křivce

#3 13. 01. 2009 15:22

Re: Tečna k integrální křivce

#4 13. 01. 2009 15:39

Re: Tečna k integrální křivce

#5 13. 01. 2009 15:43

Re: Tečna k integrální křivce

#6 13. 01. 2009 16:05

Re: Tečna k integrální křivce

Zápatí