Matematické Fórum

neznajut · 24. 06. 2013 08:21

Dobrý den,

lim x -> 0 (x^2 * cos x) / ((cos x)-1)

Vyšlo 0/0, takže l'H, ale stejne jsem nepřišel k výsledku, pokud porovnám s WA.

Prosím o pomoc, děkuji.

jarrro · 24. 06. 2013 09:08

načo LH
$\frac{x^2\cos{$x$}}{\cos{$x$}-1)}=-\frac{x^2\cos{$x$}$\cos{\(x$}+1\)}{\sin^{2}{$x$}}=$-1$\cdot\frac{x^2}{\sin^2{$x$}}\cdot\cos{$x$}$\cos{\(x$}+1\)$

Tomas5 · 24. 06. 2013 09:09

Dobrý den,

Má být zadání v tomto tvaru ?
$\lim_{x\to0}\frac{x^{2} * \cos x}{(\cos x)-1}$

Pokud ano, můžete vyřešit dvěma způsoby:

1. způsob

$\lim_{x\to0}\frac{x^{2} * \cos x}{(\cos x)-1} = \ldots$ $\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{(\cos x)-1}*\cos x = \ldots$

$\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{(\cos x)-1}* \lim_{x\to0}\cos x =$

$\lim_{x\to0}\frac{1}{\frac{(\cos x)-1}{x^{2}}}* \lim_{x\to0}\cos x =$

$\lim_{x\to0}-\frac{1}{\frac{(1-\cos x)}{x^{2}}}* \lim_{x\to0}\cos x =$

$\lim_{x\to0}-\frac{1}{\lim_{x\to0}\frac{(1-\cos x)}{x^{2}}}* \lim_{x\to0}\cos x =$

Znáte tuto limitu ${\lim_{x\to0}\frac{(1-\cos x)}{x^{2}}}$ ?

neznajut · 24. 06. 2013 09:21

↑ Tomas5:
Neznam.

Tomas5 · 24. 06. 2013 09:53

↑ neznajut:

To nevadí. Pokud výraz ${\lim_{x\to0}\frac{(1-\cos x)}{x^{2}}}$ vynásobíte výrazem $* \frac{1+ \cos \text{x}}{1+ \cos \text{x}}$ vyjde Vám

${\lim_{x\to0}\frac{(1-\cos x)}{x^{2}}}$ $*$ ${\lim_{x\to0}\frac{(1+\cos x)}{{(1+\cos x)}}}$

Po malé úpravě vyjde

${\lim_{x\to0}\frac{1- \cos ^{2 }\text{x}}{x^{2}(1+\cos x)}}$

Protože platí známý vzorec

${\sin ^{2}x + \cos ^{2}x = 1}$ , máme tedy

${\lim_{x\to0}\frac{\sin ^{2}x + \cos ^{2}x- \cos ^{2 }\text{x}}{x^{2}(1+\cos x)}} =$

${\lim_{x\to0}\frac{\sin ^{2}x}{x^{2}(1+\cos x)}} =$

${\lim_{x\to0}\frac{\sin ^{2}x }{x^{2}}}$ ${\lim_{x\to0} \frac{1}{1 + \cos x}}$

Matematické Fórum

#1 24. 06. 2013 08:21

Limita

#2 24. 06. 2013 09:08

Re: Limita

#3 24. 06. 2013 09:09

Re: Limita

#4 24. 06. 2013 09:21

Re: Limita

#5 24. 06. 2013 09:53

Re: Limita

Zápatí