Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1 2

 

#1 23. 06. 2013 12:35

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

grupa S8

Dobrý den. Lámu si hlavu s následujícím: Určete počet prvků řádu 4 v grupě permutací S8.

Začal jsem zkoumáním prvků řádu 4 v S4. Zjistil jsem, že v S4 jsou řádu 4 ty prvky, kde žádná pozici není sama na sobě a permutace má lichou signaturu. Počet prvků, kde pozice není sama na sobě je $\frac{(n-1)! \cdot (n-1)}{2}$. Kolik z nich má obecně lichou signaturu nevím a asi to není důležité. V S8 musí být vše přeházené s lichou sgn na 4 až 8 pozicích. Dál, už nevím, co s tím, ani si nejsem jistý, jestli to co tvrdím, je správné.

Druhý postup, který by mohl někam vést. Každý prvek řádu 3, se dá vyrobit přehozením nějaké pozice 3x tam, kde předtím nebyla. Např.

1234
první přehození: 1 s 2
2134
druhé přehození: 1 s 3
2314
třetí přehození: 1 s 4
2341

což je prvek řádu 4

Výběr první dvojice je z ${{4}\choose{2}}$ výběr druhé z ${{3}\choose{2}}$ atd.  Prvek 2341 se dá vyrobit i jinak, ale vždy to lze i takto. Po troše počítání mi příjde, že 2341 lze sestrojit třema různými cestami, které dodržují tento postup.

Pokud by to byla pravda, v S8 by stačilo tuhle množinu rozšířit o možnosti na dalších pozicích, kde se buď nic neděje, nebo tam dochází k jednomu nebo třem přehozením.

Takže ani k dílčímu výsledku jsem se vlastně nedobral, ačkoliv jsem nad tím strávil až příliš mnoho času. Pokud máte chuť , poraďte mi, jak postupovat. Hodně by mě zajímal výsledek, resp. postup k němu.

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#2 23. 06. 2013 17:18 — Editoval vanok (23. 06. 2013 17:20)

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: grupa S8

Ahoj ↑ Honza90:,
V tejto grupe mas uz vsetki cykly dlzky 4. Tak urci kolko ich je.
Inac vieme, ze ak nejaky prvok symetrickej grupy je vytvoreny cyklamy (zo disjuktnymy orbitmy) tak jeho rad je NSN vsetkych vytvarajucych cyklov.
Ake su moznosti na to v $S_8$?

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 23. 06. 2013 18:10 — Editoval vanok (23. 06. 2013 18:14)

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: grupa S8

Mozes skusit, ako bonus, najst odpoved na tuto otazku: Aky je najvadci mozny rad nejakeho  prvku v tejto grupe?

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 23. 06. 2013 20:44

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: grupa S8

↑ vanok:
Podle toho co pises bude nejvetsi rad asi 15=nsn(5,3)..cyklus delky 5 a cyklus delky 3, je tak?
Jinak te prvni rade moc nerozumim. O jake grupe mluvis, ze v ni jsou vsechny cykly delky 4? Nebo znamena delka cyklu neco jineho nez z kolika se sklada prvku?

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#5 23. 06. 2013 21:01 — Editoval vanok (23. 06. 2013 21:03)

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: grupa S8

no co sa tyka 15 mas pravdu...napr  (512345)(678) vyhovuje.

Stale pisem o grupe $S_8$

Ty mas vycislit prvky radu 4.

Popisal som ti jednu ich klasu.
Kolko je takych prvkov?

A take  ine klasy najdes, vdaka vlasnosti o NSN.( su  tri)

Dobre pokracovanie.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 23. 06. 2013 21:08

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: grupa S8

↑ vanok:
Ta poučka o nsn je uzitecná, ale rad by do ni i trochu vic videl. Pracovat s cykly me predtim nenapadlo. Az dam neco dohromady, tak to sem dam.

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#7 23. 06. 2013 21:28 — Editoval vanok (24. 06. 2013 11:15)

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: grupa S8

Tak este mala pomoc
Cyklus ma 4 pohyblive prvky a 4 fixne.
Ich pocet urcis tak ze z 8 prvkov vyberes lubovolne 4, je ich $8. 7. 6.5$
a akoze kazdy cyklus sa moze pisat 4my sposobmy  napr. $(1234), (2341), (3412), (4123)$ su 4 mozne zapisy pre ten isty cyklus.
To ti da $8. 7. 6.5/4= 420$ moznych takych cyklov.

Iny priklad inej kategorii
$(1234)(56)$

Skus to sam dokoncit.

Ozaj co studujes? (skola, rocnik, predmet )

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 23. 06. 2013 21:35 — Editoval Honza90 (23. 06. 2013 21:48)

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: grupa S8

↑ vanok:

422, 4211, 41111 budou ty prvky radu 4, sem jsem se dostal aji svym primitivnym postupem, ale uz jsem to spravne nevycislil. Studuji mat inzenyrstvi, VUT brno, 2-3 rok bc.

Ty pracujes jako odborny matematik? To je me vysnene povolani.

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#9 23. 06. 2013 22:03

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: grupa S8

tie prvky co pises  nevyzeraju ako treba.
tam ti  aj priklady na tie dve triedy co musis vysetrit
(1234)(56)(78)
(1234)(5678)

vidis ze ta jednoducha vlasnost s NSN funguje...

Ano pracujem ako matematik... no ale je lepsie robit aplikovanu matematiku, co sa tyka platu.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 23. 06. 2013 22:15 — Editoval Honza90 (23. 06. 2013 22:56)

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: grupa S8

↑ vanok:
44 jsem zapomnel. To by mely byt vsechny doufam..

Jak vis ze cyklus delky 4 lze napsat 4 zpusoby?

I v aplikacich byva dost pekne ciste matematiky.

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#11 24. 06. 2013 02:07 — Editoval Honza90 (24. 06. 2013 02:57)

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: grupa S8

↑ vanok:
tedy pripustne prvky vyjadrene v cyklech jsou:

(1234) ma 8*7*6*5/4=420 zpusobu

a) (1234)(5)(6)(7)(8) ... 420*1
b) (1234)(56)(7)(8) ... 420*4*3/4=1260
c) (1234)(56)(78) ... 420*4*3/4=1260
d) (1234)(5678) ... 420*4*3*2/4=2520

celkem 5460 prvku radu 4.

diky za radu ;)

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#12 24. 06. 2013 03:00 — Editoval vanok (24. 06. 2013 03:04)

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: grupa S8

Pripad a) c) je dobre vycislineny.
Druhe dva treba opravit.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 24. 06. 2013 03:14 — Editoval Honza90 (24. 06. 2013 03:27)

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: grupa S8

b) 420*4*3/2=420*6=2520
d) 420*4*3*2*1/4 = 420*6 = 2520 ??

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#14 24. 06. 2013 08:40 — Editoval vanok (24. 06. 2013 09:25)

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: grupa S8

D) treba vydelit 2!=2, lebo inac kazdy cyklus je napisany dva krat.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#15 24. 06. 2013 11:06

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: grupa S8

d) na predposledni pozici uz nema na vyber, ackoliv zbyvaji 2 cisla. proto deleno 2

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#16 24. 06. 2013 11:10

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: grupa S8

nie, argument je: dva disjonktne cykly komutuju.
A tak kazdy prvkok sa da napisat dvomi sposobmy.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#17 24. 06. 2013 11:14 — Editoval vanok (24. 06. 2013 11:24)

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: grupa S8

↑ Honza90: tu si dal jednu otazku, na ktoru som ti dal vyssie priklad
↑ vanok:
kazdy cyklus sa moze pisat 4my sposobmy  napr. $(1234), (2341), (3412), (4123)$ su v S8, 4 mozne zapisy pre ten isty cyklus.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#18 24. 06. 2013 11:57

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: grupa S8

(7) neni cyklus, takze (1234)(56) tvori dva disj cykly: (8*7*6*5/4)*(4*3/2)/2=420*6/2=420*3 coz neni pravda. Nevidim v tom logiku

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#19 24. 06. 2013 12:27 — Editoval vanok (24. 06. 2013 12:31)

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: grupa S8

Prvok  ako (1234)(56) je vytvoreny z dvoch disjonknych cyklov ( tie komutuju)
Trieda takych prvkov ma ((8.7.6.5/4)(4.3)/2).2/2 =8!/(4.2.2!) ktorych je ako si aj sam urcil 2520.
Posledna2 je vdaka komutativite cyklov

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#20 24. 06. 2013 12:39 — Editoval Honza90 (24. 06. 2013 12:49)

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: grupa S8

nechapu proc ten posledni 2/2

kdyz u (1234)(5678) mame: (8.7.6.5/4).(4.3.2.1/4).1/2

Ok uz to snad chapu

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#21 24. 06. 2013 12:58 — Editoval vanok (24. 06. 2013 12:59)

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: grupa S8

Ako vidim tazke veci rozumies velmi dobre. À tie lahke nie.
Vsak ide o cisto kombinacny problem.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#22 24. 06. 2013 13:21

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: grupa S8

to proto ze (6)(7) jsem bral jako dva disjunktni cykly.
ja vim jak to ma byt, ale musi to sedet s tvymi pouckami

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#23 24. 06. 2013 13:25

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: grupa S8

vsak to sedi z tym co som vyssie pisal.
Kdemas problem?

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#24 24. 06. 2013 13:31 — Editoval Honza90 (24. 06. 2013 13:31)

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: grupa S8

uz nemam. Pro jistotu, kdybych mel (12)(34)(56) tj 3 disj cykly tak delim 3! ?

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#25 24. 06. 2013 13:40

vanok
Příspěvky: 14540
Reputace:   742 
 

Re: grupa S8

a dostanes 8!/(2^3.3!.2!)=420

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

 

Stránky: 1 2

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson