Matematické Fórum

mil23 · 24. 06. 2013 23:25

Dobrý večer, žádám Vás o pomoc s řešením tohoto složitého příkladu, s kterým si nevím rady. Děkuji předem za ochotu.
Objednali jsem 1 bednu z velkých beden různé kvality se zcela stejnými šrouby. Víme, že na skladě je celkem 200 beden 5 typů s nestejným podílem šroubů s drobnou vadou, když ostatní šrouby jsou zcela kvalitní. Počty zásilek různého typu a podíly šroubů s drobnou vadou jsou následující:

typ podíl vadných šroubků počet beden s uvedenými podíly
1 0,01 50
2 0,02 80
3 0,03 50
4 0,04 10
5 0,05 10

Dodavatel náhodně vybral 1 bednu a tu doručil. Pro hodnocení kvality nám dodané bedny máme v plánu náhodně (výběrem s vrácením) vybírat šrouby a postupně zjištovat, zda jsou kvalitní nebo nekvalitní.

a) Jaká je pravděp., že z 5 takto vybraných šroubů z této bedny budou právě 4 kvalitní a 1 nekvalitní?

b) Popsaný výběr byl proveden a zjistili jsme, že z vybraných 5 šroubů jsou právě 4 kvalitní a jeden nekvalitní. Jaká je pravděpod., že nám byla vybrána bedna 1, 2, 3, 4 a 5 typu.

c) Jaká je pravděp., že naše bedna má méně než 3% šroubků s drobnou vadou, jestliže (jak už jsme uvedli) z pěti vybraných šroubů byly právě čtyři kvalitní a jen jeden s drobnou vadou?

JohnPeca18

nech $A_i, 1\leq i \leq 5$ je jav vyberem bednu typu i. Nech $B$ je jav, vyberem nekvalitni sroub
pak $P(B)=\sum_{i=1}^{5}P(B|A_i)P(A_i)$ kde $P(B|A_i)=0.0i$ ze zadani a $P(A_i)$ spocteme jako podil poctu beden s typem i, ku vsem bednam. Napriklad $P(A_2)=\frac{80}{50+80+50+10+10}$
Pravdepodobnost ze vyberem kvalitny sroub je $P(\bar{B})=1-P(B)$

pro a) nech jav vybrani 4 kv. a 1 nekv sroubu je jav $C$ , pouzijem binomicke rozdelenie a vysledok bude $P(C)=\binom{5}{1}(P(B))^1P(\bar{B})^4$
b) chceme pravdepodobnost $P(A_i|C)$ tu spocteme z Bayesova vzorce, nebo proste ze vztahu
$P(A_i|C)P(C)=P(A_i \cap C)=P(C|A_i)P(A_i)$
to co zname dosadime a dopocteme pro vsechna i
c) Podle mne staci secist pravdepodobnost $P(A_1|C)+P(A_2|C)$ , teda pravdepodobnost, ze jsme vybraly bednu 1, nebo 2. typu.

Matematické Fórum

#1 24. 06. 2013 23:25

Pravděpodobnost - výběr s vrácením

#2 25. 06. 2013 01:38 — Editoval JohnPeca18 (25. 06. 2013 01:57)

Re: Pravděpodobnost - výběr s vrácením

Zápatí