Matematické Fórum

Vu.Irena · 25. 06. 2013 15:35

Ahoj, chtěla bych se zeptat na 2 věci týkající se konvergence jednoho integrálu. Nejsem si jista ohledně správnosti postupu.
1)Mám-li např. vyšetřit tento integrál $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{ln(sinx)}{\sqrt{x}} dx$ pak lze postupovat takto?:

Zvolím si ten testovací integrál $q(x)=\frac{lnx}{\sqrt{x}}$ a pak provedu $\lim_{x\to0+}\frac{f(x)}{q(x)}=1$ , kde $f(x)=\frac{ln(sinx)}{\sqrt{x}}$ . Stačí že mi vyšla $1$ k tomu abych prohlásila že je ten integrál $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx$ konvergentní?

2)Proč počítám limitu toho podílu v $x \to 0+$ a ne taky v $x \to \left(\frac{\pi }{2} \right)^{-}$ ?

Rumburak

↑ Vu.Irena:
Ahoj.

Ad 2 .

Limitu pro $x \to \left(\frac{\pi }{2} \right)^{-}$ bychom také měli vyšetřit, ale zde je výsledek zřejmý
(je rovna 0 , což konvergenci intrgrálu neohrožuje).

Ad 1.

Výsledek $\lim_{x\to0+}\frac{f(x)}{q(x)}=1$ sám o sobě ke konvergenci daného integrálu nestačí.
Je potřeba ještě ukázat, že konverguje integrál

(1) $\int_{0}^{\delta}q(x)dx$

pro nějaké $\delta > 0$ . Intregrál (1) půjde spočítat metodou per partes.

Vu.Irena

↑ Rumburak:
Děkuju. Mám ješte pár otázek
Ad 1.
to $\delta > 0$ si mohu v prAXI nějak zvolit? Až to spočítám jak uvidím že se jedná o konvergentní funkci? A nebo si musím zase znovu zvolit nějakou testovací funkci o které vím 100% že je konvergentní?

Vu.Irena · 25. 06. 2013 17:28

↑ Vu.Irena:Vlastně už vím, díky.

Rumburak · 25. 06. 2013 17:38

↑ Vu.Irena:

Jde o to, že integrál formálně rozložíme na součet, zde např.

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{ln(sinx)}{\sqrt{x}} dx = \int_{0}^{\delta}\frac{ln(sinx)}{\sqrt{x}} dx + \int_{\delta}^{\frac{\pi }{2}}\frac{ln(sinx)}{\sqrt{x}} dx$ .

Druhý ze sčítanců je zřejmě konvergentní integrál (např. podle Riemannovy definice), na konkretní hodnotě $\delta \in (0 , \frac{\pi}{2})$ nijak nijak zvlášť nezáleží,
ale obecně můžee být užitečné uvažovat ji blízko nuly, aby při nahrazení integrované funkce nějakou funkcí testovací nevznikl problém v jiném bodě.

Matematické Fórum

#1 25. 06. 2013 15:35

Jsou tyto integrály konvergentní?-konrola postupu, popř. vysvětlení

#2 25. 06. 2013 16:27 — Editoval Rumburak (25. 06. 2013 16:29)

Re: Jsou tyto integrály konvergentní?-konrola postupu, popř. vysvětlení

#3 25. 06. 2013 16:53 — Editoval Vu.Irena (25. 06. 2013 17:25)

Re: Jsou tyto integrály konvergentní?-konrola postupu, popř. vysvětlení

#4 25. 06. 2013 17:28

Re: Jsou tyto integrály konvergentní?-konrola postupu, popř. vysvětlení

#5 25. 06. 2013 17:38

Re: Jsou tyto integrály konvergentní?-konrola postupu, popř. vysvětlení

Zápatí