Matematické Fórum

střecha · 25. 06. 2013 20:02

Zdravím, nevím si rady s příkladem: Pomocí Bolzanova-Cauchyova kritéria rozhodněte o konvergenci řady:

$\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{\cos(n)-\cos(n+1)}{n}$

Řada by měla konvergovat.
Odhadem výrazu (pro $p,q \in \mathbb{N}, q>p+1$ )
$|\sum_{n=p+1}^{q}\frac{\cos(n)-\cos(n+1)}{n}|\le$
$\le \sum_{n=p+1}^{q}|\frac{\cos(n)-\cos(n+1)}{n}| <$
$<\sum_{n=p+1}^{q} \frac{1}{n}$ se dostanu k divergentní řadě, různé použití součtových vzorců a tak pro mě nevedlo k řešení. Má někdo nějaký nápad jak to řešit? :)

Brano · 25. 06. 2013 20:30

$\left|\sum_{n=p+1}^{q}\frac{\cos(n)-\cos(n+1)}{n}\right|\le\frac{1}{p+1}|(\cos(p+1)-\cos(p+2))+(\cos(p+3)-\cos(p+4))+...(\cos(q)-\cos(q+1))|$
$=\frac{1}{p+1}|\cos(p+1)-\cos(q)|\le\frac{2}{p+1}$

střecha · 25. 06. 2013 21:25

Díky!

Matematické Fórum

#1 25. 06. 2013 20:02

Konvergence řady, Bolzanova Cauchyova podmínka

#2 25. 06. 2013 20:30

Re: Konvergence řady, Bolzanova Cauchyova podmínka

#3 25. 06. 2013 21:25

Re: Konvergence řady, Bolzanova Cauchyova podmínka

Zápatí