Matematické Fórum

Elune · 26. 06. 2013 14:44

Ahoj, prosím vás o pomoc s transformací souřadnic. Mám zakreslit množinu v kartézských a polárních souřadnicích.
$\Omega =\{(x,y):1\le x^{2}+y^{2}\le 9\}$
V kartézských souřadnicích je to mezikruží od 1 do 9 včetně ohraničení, ne? Ale co s těma polárníma souřadnicema? Vím, že v polárních souřadnicích je $x=r\cos \varphi$ a $y=r\sin \varphi$ ale co s tím dál? Nemůžu najít žádný kloudný materiál k nastudování, ze kterého bych to pochopila, potřebuju to podat nějak "polopatě".

dejviddejvid

Ahoj, snad trochu pomohu.

Když dosadíte x=r·cos(fi) a y=r·sin(fi) do výrazu $x^2+y^2$ tak vyjde:
$x^2+y^2=r^2\cos^2 \varphi +r^2\sin^2 \varphi =r^2(\cos^2\varphi +\sin^2\varphi)=r^2$

tzn. že parametrizace bude:

$r^2\in <1;9>$
$r\in <1;-3>$ $\vee$ $r\in <1;3>$

Tam bude dáno jestli je x a y větší než nula nejspíše... Jinak pro případ využití polární transformace do integrálu potřebujete vědět ještě tzv. Jacobiho determinant neboli Jacobián (případně nastudujte na internetu jak se počítá) a u polární transformace je dobré si ho zapamatovat

$J = r$

kexixex

zdravim,
r nemuze byt zaporne.. (edit: vlastne muze viz nize Rumburakuv prispevek, obvykle ale nebyva :-) )
mnozina $\Omega =\{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}:1\le x^{2}+y^{2}\le 9\}$ se v polarnich souradnicich zapise (po prepsani rovnice jako v dejvidove prispevku a odmocneni nerovnice) jako $\Omega =\{(r,\varphi) \in [0,\infty) \times [0,2\pi):1\le r \le 3\}$ , z toho uz nakreslit obrazek by melo byt jednoduche, kdyztak se ptej..

taky v kartezkych je to mezikruzi, ale od 1 do 3 (viz obecna rovnice pro kruznici)...

Rumburak

↑ dejviddejvid:

Ahoj. Pouze $r\in <1;3>$ je správně.
(U polárních souřadnic se zpravidla předpokládá $r \ge 0$ . Na druhou stranu nic nám nebrání uvažovat naopak $r \le 0$ -
pak by ale správné omezení pro tuto proměnnou bylo $r\in <-3;-1>$ . Připustit v rámci jedné substituce různá znaménka u $r$
by asi také bylo teoreticky možné, avšak bylo by nutno patřičně omezit interval pro úhlovou proměnnou, aby substituce byla s.v. prostá.
Bylo by to též méně názorné. )

Elune · 26. 06. 2013 17:03 — Editoval Elune (26. 06. 2013 17:04)

↑ kexixex: No popravdě vůbec nevim, jak to z toho předpisu zakreslit. Mohl by to být půlkruh?

kexixex

↑ Elune:
ne, interval krat interval je obdelnik. Tady je omezena pouze souradnice r, a to hodnotami 1 a 3. Souradnice \phi nabyva vsech moznych hodnot (tedy $<0,2\pi )$ ), na phi neni v predpisu pro $\Omega$ kladena zadna podminka..

A kdyz si to predstavis, je to jasne - mezikruzi dvou kruznic o polomeru 1 a 3 jsou prave vsechny body, ktere maji od pocatku vzdalenost (v polarnich souradnicich $r$ ) mensi nez 3 a vetsi nez 1 a to ve vsech smerech (takze nezalezi na $\varphi$ )..

Elune · 27. 06. 2013 10:16

↑ kexixex: Děkuju. Takže zase mezikruží. A když budu mít třeba zadáno $\Omega =\{(x,y):0\le x^{2}+y^{2}\le 1, y\le -1\}$ ? Kdyby tam nebylo to omezení pro ypsilon, tak je jasný, že je to kruh se středem v (0,0) a poloměru 1, ale jak ten obrázek ovlivní $y\le -1$ ?

LukasM · 27. 06. 2013 11:12

↑ Elune:
Umíš si aspoň trochu představit co to znamená že $y\leq -1$ ? Myslím úplně bez té první podmínky? Kdybych ti nakreslil dvě osy x a y, dokážeš mi vybarvit body pro které to platí?

Elune · 27. 06. 2013 11:15 — Editoval Elune (27. 06. 2013 11:16)

↑ LukasM: No bude to plocha pod přímkou(včetně přímky), které bude rovnoběžná s osou x a ta přímka bude procházet bodem -1 na ose ypsilon..

kexixex · 27. 06. 2013 11:41

↑ Elune:
Ok, k tvymu prikladu $\Omega =\{(x,y):0\le x^{2}+y^{2}\le 1, y\le -1\}$ . $\Omega$ je nejaka podmnozina roviny (to rika cast $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}...\}$ , je lepsi si pro poradek psat odkud body mnoziny jsou). Ale abys vedela, jaka cast roviny to je, musis ji nejak popsat - popis jsou ty rovnice (tedy nerovnice). nerovnice 1 (tj. $0 \le x^{2}+y^{2} \le 1$ ) rika, ze body z $\Omega$ jsou vsechny uvnitr jednotkoveho kruhu se stredem v pocatku.
Nerovnice 2 ( $...y\leq -1...$ ) rika, ze body z $\Omega$ jsou vsechny pod primkou y=-1 (jak jsi spravne napsal(a)).

Jake body teda budou v $\Omega$ ? No vsechny body,ktere jsou v rovine $\mathbb{R}^{2}$ a soucasne v jednotkovem kruhu a soucasne pod primkou y=-1. Vedel(a) bys nyni, jak zakreslit $\Omega$ -u?

Elune · 27. 06. 2013 11:50

↑ kexixex: Já pořád nechápu, jak může být současně v jednotkovém kruhu a současně pod přímkou y<=-1. Tomu vyhovuje jen bod (0,-1) přece, ne?

kexixex · 27. 06. 2013 11:54

↑ Elune:
No jo... To byl tvuj priklad :) (jenom pozor y<=-1 neni primka, ale polorovina...)

jak by vypadaly napr. $\Omega_{1} =\{(x,y):0\le x^{2}+y^{2}\le 1, y\le 1\}$ , $\Omega_{2} =\{(x,y):0\le x^{2}+y^{2}\le 1, y\le 0\}$ ?

Elune · 27. 06. 2013 12:01 — Editoval Elune (27. 06. 2013 12:02)

↑ kexixex:No tak to jsem nečekala, že to bude jen ten bod. První zadání by taky byl taky jednotkový kruh, tentokrát celý a druhý příklad by byl jednotkový půlkruh pod osou x včetně? a ten můj příklad, kde je výsledkem jen bod (0,-1), jak mám naložit s tím omezením pro ypsilon v polárních souřadnicích? Když to převedu do polárních, tak dostanu $0\le r\le 1$ , a v polárních je to $rsinx\le -1$ , to asi bude trošku jinačí řešení, nebo ne?

LukasM · 27. 06. 2013 12:15

↑ Elune:
Tvoje výsledky na kexixexovy otázky se mi zdají ok (kexixex je offline, tak snad se nebude zlobit). Popsat ten jeden bod v polárních souřadnicích je jednoduché, stačí zadat r=1 a $x=\frac{3}{2}\pi$ . Pokud to nevidíš hned, tak můžeš vyřešit nerovnice $rsinx\le -1\\r^2sin^2x+r^2cos^2x\leq 1$ , a vyjde ti to samé.

Jinak že ti zbyl jen jeden bod by tě nemělo děsit. Ta množina klidně může být i prázdná, když to tak někdo zadá.

Elune · 27. 06. 2013 12:21

↑ LukasM:Děkuju za odpověď. $\frac{3\pi }{2}$ mě taky napadlo, protože tam je sinus roven -1. Ještě jednou vám oběma moc děkuju za trpělivost a ochotu, vaše příspěvky mi daly víc než výklad ve škole. :-)

Matematické Fórum

#1 26. 06. 2013 14:44

Transformace souřadnic

#2 26. 06. 2013 16:15 — Editoval dejviddejvid (26. 06. 2013 16:18)

Re: Transformace souřadnic

#3 26. 06. 2013 16:39 — Editoval kexixex (26. 06. 2013 16:45)

Re: Transformace souřadnic

#4 26. 06. 2013 16:43 — Editoval Rumburak (26. 06. 2013 16:46)

Re: Transformace souřadnic

#5 26. 06. 2013 16:47 — Editoval Elune (26. 06. 2013 16:49) Příspěvek uživatele Elune byl skryt uživatelem Elune. Důvod: Než jsem odepsala přibyly další příspěvky.

#6 26. 06. 2013 17:03 — Editoval Elune (26. 06. 2013 17:04)

Re: Transformace souřadnic

#7 27. 06. 2013 09:24 — Editoval kexixex (27. 06. 2013 09:31)

Re: Transformace souřadnic

#8 27. 06. 2013 10:16

Re: Transformace souřadnic

#9 27. 06. 2013 11:12

Re: Transformace souřadnic

#10 27. 06. 2013 11:15 — Editoval Elune (27. 06. 2013 11:16)

Re: Transformace souřadnic

#11 27. 06. 2013 11:41

Re: Transformace souřadnic

#12 27. 06. 2013 11:50

Re: Transformace souřadnic

#13 27. 06. 2013 11:54

Re: Transformace souřadnic

#14 27. 06. 2013 12:01 — Editoval Elune (27. 06. 2013 12:02)

Re: Transformace souřadnic

#15 27. 06. 2013 12:15

Re: Transformace souřadnic

#16 27. 06. 2013 12:21

Re: Transformace souřadnic

Zápatí