Matematické Fórum

Yesman · 27. 06. 2013 10:44 — Editoval Yesman (27. 06. 2013 12:59)

Dobrý den, počítám tento příklad ale vůbec mi to nevychází podle výsledku v učebnici. Přikládám svoje řešení. Můžete mi prosím říct kde je chyba (možná mají chybu v učebnici)? Děkuji

Vypočítejte objem těles vzniklých rotací křivky $y=e^{-x};x \in \langle0;\infty )$ kolem osy x

Objem se počítá podle vzorce: $V=\pi \int_{a}^{b}(f(x))^{2}dx$

Tzn.:
$V=\pi \int_{a}^{b}(f(x))^{2}dx= \pi \int_{a}^{b} (e^{-x})^2dx =$
$=\pi \int_{a}^{b}e^{-2x}dx=|u=-2x\Rightarrow du=-2dx|=-\frac{1}{2}\pi \int_{a}^{b} e^u du =$
$=\left[ -\frac{\pi }{2e^{2x}}\right]^{b}_{a}=\frac{\pi }{2} \left( \frac{1}{e^{2a}}-\frac{1}{e^{2b}}\right)$

Hanis · 27. 06. 2013 15:34

Ahoj,
A co dosazení mezí? A jejich transformace během substituce...

Yesman · 27. 06. 2013 15:53

Ten integral mám asi v pořádku viz. http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … rom+a+to+b . Spíše jsem měl na mysli zdali není něci v nepořádku s tím vzorcem nebo s něčím jiným.

Rumburak

↑ Yesman:

Ahoj.

S tím vzorcem $V=\pi \int_{a}^{b}(f(x))^{2}dx$ JE všecho v pořádku.
Co v pořádku NENÍ, o tom Tě kolega ↑ Hanis: informoval správně.

Yesman · 27. 06. 2013 16:38 — Editoval Yesman (27. 06. 2013 16:53)

↑ Rumburak:
takže $=\pi \int_{a}^{b}e^{-2x}dx=|u=-2x\Rightarrow du=-2dx|=-\frac{1}{2}\pi \int_{-2a}^{-2b} e^u du =$ ?

Ale pak když to "substituju" zpátky, tak tam je stejně "a" a "b" ne?

martisek · 27. 06. 2013 17:02

↑ Yesman:

Jenže ono už se to zpátky nesubstituuje.

Rumburak

↑ Yesman:

Ano, tímto způsobem je substituce už provedena správně.
Kdyby se to substituovalo zpátky, tak by se pochopitelně vrátily zpátky i meze. Ale k substituci zpět už není žádný důvod,
protože primitivní funkci k $\mathrm{e}^u$ podle $u$ již dobře známe, čímž je podstatný krok k výpočtu integrálu proveden.