Matematické Fórum

Vincee · 24. 06. 2013 22:12

Zdravim a prosim o radu.

Jde mi o parametrizaci křivky jíž je kružnice o poloměru r=1 a středu S[2;0]
Výslednou plochou je pulkružnice.

Meze pro $\varphi$ jsou $\varphi \in <0;\frac{\Pi }{2}>$

Při určování mezí pro $\varrho$ mam ale problem. Narazil jsem na ruzne zdroje a mam nejasnosti zda do substituce zahrnout souřadnice posunutého středu nebo ne.

naznačil by mi nekdo postup a případně správné meze? pokud totiž použiju transformace
$x = \varrho \cos \varphi + 2$

$y = \varrho \sin \varphi$

a následně je dosadím do rovnice kružnice, vychází mi $\varrho = 1$

pokud by tedy meze v tomto případě byly $\varrho \in <0;1>$ tak docházím s těmito hodnotami k špatnému výsledku.
Mam nejasnosti zda se meze maji vztahovat k počátku souřadnicové soustavy či středu kružnice.
Správný výsledek má být $[\frac{4}{3}]$

jelena · 25. 06. 2013 21:59

Zdravím,

Já bych řekla, že všechno máš v pořádku, až na meze pro úhel - má být $\varphi \in \langle 0; \pi \rangle$ .
Použitím $x = \varrho \cos \varphi + 2$ jsi posunul střed kružnice (2, 0) do středu souřadnic (podrobně 2. způsob transformace na str. 33 v odkazu), ovšem při Tvém zvoleném úhlu projdeš pouze čtvrtkruh, ale potřebuješ projít půlkruh. Zkus si to tak přepočítat. V pořádku? Děkuji.

Vincee · 26. 06. 2013 06:23

↑ jelena:
1.
Přepočítal jsem, ale nevyšlo mi to.
Došel jsem k výsledku $\frac{3\pi ^{2}-32}{24}$

2.
Take jsem to zkoušel druhym zpusobem a to tak, že sem do transformací nezahrnul posunutý střed, ale použil jsem klasickou transformaci kterou jsem pak dosadil do rovnice kružnice abych spočítal meze pro $\varrho$ a došel jsem k výsledku:
$\varrho \cdot (1-4\varrho \cdot \cos \varphi )=3$

z toho jsem si zkusil odvodit horní mez jako $(4\varrho \cdot \cos \varphi )+3$ a dolní mez od $1$
V řešených příkladech ktere jsem viděl žadne číslo na prave straně nepřebývá takže jsem si s tim moc nevěděl rady, ale když sem se koukl na obrazek tak mi to přišlo logicke přičíst ale bohužel ani tenhle výsledek nebyl spravny.
Takže sem neuspesny.

vanok · 26. 06. 2013 09:30 — Editoval vanok (26. 06. 2013 09:30)

Poznàmka: urob to na dve etapy
Prva= translacia stredu kruhu
Druha= klasika

jelena · 26. 06. 2013 09:44

↑ vanok:

Zdravím,

děkuji za příspěvek, téma zůstávalo trochu nepovšimnuté. Transformaci, bych řekla, že kolega provedl - ↑ úvodní příspěvek: + můj komentář s odkazem, ale asi nějaká nepozornost při integrování (nevypadlo něco ze zápisu?)

Mně vyšlo k integrování po převodu na polární: $(\varrho \cos \varphi + 2)(\varrho \sin \varphi)\varrho \d \varrho\d \varphi$ v mezích $\varrho \in <0;1>$ , $\varphi \in \langle 0; \pi \rangle$ . Kontrola WA - původní, po převodu na polární.. Souhlasí to? Děkuji.

vanok · 26. 06. 2013 11:15

Pozdravujem ↑ jelena:. Ano podla mna je to ok.

Vincee · 26. 06. 2013 14:49 — Editoval Vincee (26. 06. 2013 14:51)

↑ jelena:
Zdravím,
začátek máme stejně, ale zřejmě je problém někde dál ve výpočtu, asi systematická chyba.
Už po několikate to počitam a nevim kde je problem.
Počítám zde:

vanok · 26. 06. 2013 14:58

Poznamka: zmena premenej sa tyka aj hranic intégrala

Vincee · 26. 06. 2013 15:24 — Editoval Vincee (26. 06. 2013 15:42)

↑ vanok:
Diky, ted už to sedí.
Jeste jsem se chtel zeptat
Pokud bych použil transformaci bez použití souřadnic posunutého středu, ale pouze tyhle.
$x = \varrho \cos \varphi$
$x = \varrho \sin \varphi$

jake by pak byly meze?

tuším že pro úhel $\varphi \in <0;\frac{\Pi }{2}>$

ale jake by byly pro poloměr? když transformaci dosadím do rovnice kružnice, dostávám se po úpravě k výrazu:
$\varrho \cdot (\varrho-4 \cdot \cos \varphi )=-3$
jak ale z tohoto dostat horní mez?
$\varrho \in <1;?>$

Dolní by podle mě měla být $1$ kdyby na prave straně rovnice byla $0$ pak bych si myslel že horní mez je $4 \cdot \cos \varphi$
ale protože je na prave straně jeste trojka nevím jak to ovlivní výslednou horní mez.

jelena · 28. 06. 2013 12:23

↑ Vincee:

Zdravím,

ze zápisu $\varrho \cdot (\varrho-4 \cdot \cos \varphi )=-3$ se také podaří vyjádřit $\rho=f(\varphi)$ (řešením kvadratické rovnice s neznámou $\rho$ ), ovšem potom mi $\varphi$ přišlo k vyjádření složité.

Zde je problém (alespoň já to tak vidím), že pokud umístím průvodič do počátku souřadnic (bez transformace rovnice zadané kružnice také do počátku), potom s průvodičem vykreslím něco jiného, než zadaná oblast. Zkusila jsem ještě krok opačný: vyjádřit $\varphi=g(\varrho)$ , to šlo z $\varrho \cdot (\varrho-4 \cdot \cos \varphi )=-3$ pohodlně (a jednoznačně na zadaném intervalu): $\varphi=\mathrm{arccos}$\frac{\varrho^2+3}{4\varrho}$$ , $\varrho \in \langle 1;3\rangle$ , výsledek, ale jak pohodlně by se to integrovalo ručně, to jsem zatím nezkoušela.

Věřím, že někdo z odborně zdatných kolegů si tématu ještě povšimne a zkritizuje můj postup, případně doplní, jak na to - takových příkladů opravdu moc nebývá (vzory zadání a transformace). Kolegům děkuji.