Matematické Fórum

MirekH · 23. 06. 2013 17:50

Ahoj, mám takový trochu zvláštní dotaz - lze nějak bez počítání ukázat, že náboj a jeho obraz uvnitř uzemněné sféry musí splňovat podmínky kruhové inverze? Ze vztahu $dd' = R^2$ lze totiž hledané vzorce $d' = R^2/d$ a $q' = -qR/d$ vmžiku odvodit (značení viz obr.).
Pro body X, X' je na základě mocnosti bodu ke kružnici a Euklidovy věty ihned vidět, že oba mají konstantní poměr vzdáleností od q, q' a že splňují $dd' = R^2$ . Nijak z toho ovšem neplyne, že to platí pro všechny body kružnice - to lze ukázat tak, že dám pro libovolný bod kružnice A do poměru $|Aq|$ a $|Aq'|$ a ukážu, že se skutečně jedná o rovnici kružnice.
Nicméně všechny tyto výpočty a zapisování už zaberou nějaký čas. Proto bych potřeboval vědět, jestli neexistuje nějaká na olympiádách povolená věta, ze které by správnost použití inverze byla ihned zřejmá.

Předem děkuji za odpověď.

P.S.: Možná se jedná o otázku spíše pro matematiky než fyziky, ale účel je fyzikální, takže jsem volil toto subfórum.

jelena · 29. 06. 2013 09:57

Zdravím,

zkusím téma trochu posunout. Pokud rozumím dobře, tak jde o modifikaci (nebo přímo použití) výstupu z řešení úlohy VI S (b). A Tvůj dotaz je:

lze nějak bez počítání ukázat, že náboj a jeho obraz uvnitř uzemněné sféry musí splňovat podmínky kruhové inverze?

a

Proto bych potřeboval vědět, jestli neexistuje nějaká na olympiádách povolená věta, ze které by správnost použití inverze byla ihned zřejmá.

Zkušenost s olympiadou mám velmi skromnou, řekla bych, že u domacího kola a korespondenčních soutěží nebude problém s použitím "běžných vzorců a definic" (pokud by došlo na konflikt s použitím, tak se porovná s doporučenou literaturou), s použitím vzorců a definic "neběžných", u kterých bude jasný zdroj + vlastní kompletní důkazy.

Tedy mohu dotaz přeformulovat - je třeba najit v doporučené literatuře a ve studijních materiálech FO přímo větu, která Tvé dve otázky v rámečku řeší? Téma mohu přesunout, případně na něho upozornit, ale ještě se mi nezdá dostatečně formulované. Děkuji.

MirekH · 29. 06. 2013 19:34

↑ jelena:
Děkuji za odpověď, nicméně jsem už sám dospěl k závěru, že pokud by se zrcadlový náboj na olympiádě objevil, tak by odvození výše zmíněných vztahů bylo bodované a za nějaké urychlování bych mohl o body přijít. Podobný příklad se objevil na IPhO 2010 (Problem 1) a v oficiálním řešení je použito odvození přes kosinovou větu a dva libovolné úhly, což je sice méně rigorózní postup než ten fykosí, ale zjevně stačí na plný počet bodů (za danou část úlohy). Takže si se zrcadlovým nábojem asi nemusím lámat hlavu. Téma označuji jako vyřešené.

jelena · 29. 06. 2013 21:39

↑ MirekH:

Děkuji za zprávu a za upřesnění. Také jsem původně začala odvozovat přes kosinovou větu, ale nějak mi nebyo jasné, zda jde jen o odvození (to bys asi dotaz dal do Matematiky), nebo je v tom ještě nějaké fyzikální podstata. Tak jsem se ještě podívala po textech, kde se to vyskytuje.

Dobře, že vyřešeno, děkuji.

Matematické Fórum

#1 23. 06. 2013 17:50

Zrcadlový náboj - odvození

#2 29. 06. 2013 09:57

Re: Zrcadlový náboj - odvození

#3 29. 06. 2013 19:34

Re: Zrcadlový náboj - odvození

#4 29. 06. 2013 21:39

Re: Zrcadlový náboj - odvození

Zápatí