Matematické Fórum

xort · 30. 06. 2013 10:08

Prosím o pomoc.
Mám Besselovu rovnici
$z^{2}\frac{\partial^{2}w(z) }{\partial z^{2}}+z\frac{\partial w(z)}{\partial z}+w(z).(z^{2}-\nu ^{2})=0$

a k ní řešení tvaru
$w(z)=c.J_{\nu } + d.J_{-\nu }$

kde
$J_{\nu }=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k}}{k!.\Gamma (\nu +k+1)}(\frac{z}{2})^{2k+\nu }$

Potřebuji ověřit, že toto řešení Besselovu rovnici skutečně řeší, ale stále mi to nevychází. Nevím, zda ve výpočtu dělám chybu, nebo si neuvědomuji nějaký další postup.
Řešení jsem upravil do tvaru
$J_{\nu }=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k}}{k!.\Gamma (\nu +k+1){2}^{2k+\nu }}{z}^{2k+\nu }$
a protože derivuji podle z. vše ostatní beru jako konstantu, pro zjednodušení zápisu celý zlomek označuji jako p_k.

1.derivace
$J_{\nu }'=\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.(2k+\nu){z}^{2k+\nu -1}$

2. derivace
$J_{\nu }''=\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.(2k+\nu)(2k+\nu-1){z}^{2k+\nu -2}$

Po dosazení do Besselovy rovnice
$z^{2}\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.(2k+\nu)(2k+\nu-1){z}^{2k+\nu -2}+z\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.(2k+\nu){z}^{2k+\nu -1}+\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.{z}^{2k+\nu}.(z^{2}-\nu ^{2})=0$

Což dále upravuji
$\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.(2k+\nu)(2k+\nu-1){z}^{2k+\nu }+\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.(2k+\nu){z}^{2k+\nu }+\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.{z}^{2k+\nu}.(z^{2}-\nu ^{2})=0$
$\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.{z}^{2k+\nu }\{(2k+\nu)(2k+\nu-1)+(2k+\nu)+z^{2}-\nu ^{2}\}=0$
$\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.{z}^{2k+\nu }\{4k^{2}+4k\nu +z^{2}\}=0$

U tohoto tvaru jsem se poněkud zasekl. Obměnami postupu jsem se stejně vždy dopracoval sem. Buď je to špatně, nebo se mi dosud nepodařilo odhalit, jak s tímto správně pracovat dál. Prosím o radu, pokud někdo víte či máte nápad, co s tím. Děkuji

Pavel Brožek · 30. 06. 2013 11:48

Ahoj,

$\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.{z}^{2k+\nu }\{4k^{2}+4k\nu +z^{2}\}=\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}{z}^{2k+\nu }\{4k^{2}+4k\nu\}+\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}{z}^{2k+\nu }z^2$

Teď to chce z jedné sumy vyhodit pryč první člen, posunout sumační index o jedna a dát sumy zase dohromady.

Jde o to, že chceš ukázat, že koeficient u každé mocniny z je nulový. Jenže v tom tvém tvaru máš pro jedno k v sumě dvě různé mocniny z. Máš tam „něco jako“

$(0-x)+(x-x^2)+(x^2-x^3)+\ldots$

Každá závorka je pro $x=\frac12$ nenulová, přitom součet je nulový.

xort · 30. 06. 2013 13:22

↑ Pavel Brožek:

Mnohokráte Ti děkuji! Už jsem z toho začínal být zoufalý.. napadlo mne, že ty sumy musím rozdělit, ale nedošlo mi, že ten první člen je vlastně nulový.. Ještě jednou děkuji.

Matematické Fórum

#1 30. 06. 2013 10:08

Ověření řešení Besselovy rovnice

#2 30. 06. 2013 11:48

Re: Ověření řešení Besselovy rovnice

#3 30. 06. 2013 13:22

Re: Ověření řešení Besselovy rovnice

Zápatí