Matematické Fórum

Jewels · 30. 06. 2013 21:00

Zdravím,

mám zadaní "Pomocí integrování vypočítejte objem kulového vrchlíku, který vznikne z koule o poloměru r a výšce r/2."

A jde mi o to zda do vzorce $\int_{\frac r 2}^{r} f(x)^2 dx$ mám dosadit za $f(x)^2 = r^2 - x^2$

A jestliže ano tak jestli je tento postup správný.
$\int_{\frac r 2}^{r} r^2-x^2 dx = [\frac {r^3} 3 -\frac {x^3} 3] = \frac {r^3-(\frac r 2)^3} 3 -\frac {r^3-r^3} 3 = \frac {r^3-\frac {r^3} {8}} 3 = \frac {\frac {7r^3} {8}} {3} = \frac {7r^3} {24}$

Jj · 30. 06. 2013 21:27

↑ Jewels:

Vzorec je $V = \pi \int_{\frac r 2}^{r} f(x)^2 dx$
Ano, dosadí se $f(x)^2 = r^2 - x^2$ , postup integrace nemáte správně - výsledek má podle mne být $\frac{5\pi r^3}{24}$

Pokud jsem se tedy nespletl.

Jewels · 30. 06. 2013 21:36

jo $\pi$ mi vypadlo...

$\int_{}^{} r^2-x^2 dx$ se nerovná $\frac {r^3} 3 -\frac {x^3} 3$ ?

Jj · 30. 06. 2013 21:49 — Editoval Jj (30. 06. 2013 22:09)

↑ Jewels:+

Ne, r je konstanta: $\int_{}^{} r^2dx = r^2\int_{}^{} dx = r^2\cdot x$

Jewels · 30. 06. 2013 22:16

jo protože je to konstanta, že?

ted sem se nejak zamotal a nevím jestli to je správně $\pi \int_{\frac r 2}^{r} r^2-x^2 dx = \pi r^2[-\frac {x^3} 3]= \pi r^2(-\frac {r^3} 3 -\frac {r^3} {24})=\pi r^2 (\frac {7r^3}{24})$

kde dělám chybu? :(

martisek · 30. 06. 2013 22:25

↑ Jewels:

$\pi \int_{\frac r 2}^{r} ( r^2-x^2 ) dx = \pi r^2\int_{\frac r 2}^{r} dx - \pi \int_{\frac r 2}^{r} x^2 dx = \pi r^2 [x]_{\frac r 2}^r - \pi \left[ \frac {x^3} 3\right] _{\frac r 2}^r$

Matematické Fórum

#1 30. 06. 2013 21:00

Objem rotačního tělesa

#2 30. 06. 2013 21:27

Re: Objem rotačního tělesa

#3 30. 06. 2013 21:36

Re: Objem rotačního tělesa

#4 30. 06. 2013 21:49 — Editoval Jj (30. 06. 2013 22:09)

Re: Objem rotačního tělesa

#5 30. 06. 2013 22:16

Re: Objem rotačního tělesa

#6 30. 06. 2013 22:25

Re: Objem rotačního tělesa

Zápatí