Matematické Fórum

bojga · 30. 06. 2013 19:47 — Editoval bojga (30. 06. 2013 19:48)

Prosím o pomoc s příkladem: Je dána přímka p: ${[4;3;1],(1;4;-3)}$ máme počátkem souřadné soustavy vést všechny přímky, které s přímkou p svírají úhel 30°
Děkuji

jelena · 01. 07. 2013 09:14

Zdravím,

přímka je zadána parametricky - bodem a směrovým vektorem? Uvažuji tuto variantu - zadaná přímka, střed souřadnic a nalezené přímky (s odchylkou) budou v jedné rovině. Mohu najít vzdálenost bodu (0, 0, 0) od zadané přímky a vypočítat (přes sin(30)) vzdálenost bodu (0,0,0) od průsečíku "odchylujících se přímek" se zadanou.

Tato vzdálenost mi dává poloměr kružnice se středem v (0, 0, 0). Mohu tedy sestavit rovnici sféry se středem (0, 0, 0) a nalezeným poloměrem a najít průsečíky sféry se zadanou přímkou (to by dávalo 2 řešení). Ovšem mám takový dojem, že stejnou podmínku bude splňovat i sféry s jiným středem, ve kterých bude kružnice se středem (0, 0, 0) a tětivou na zadané přímce jen v rovině některého řezu. Jak to vidí kolegové? Děkuji.

Jj · 01. 07. 2013 12:42

↑ jelena:

Řekl bych, že hledané přímky by měly tvořit kruhovou kuželovou plochu s vrcholem v počátku, s osou rovnoběžnou s přímkou procházející oběma zadanými body a s vrcholovým úhlem 60°. Svírají-li úhel 30° s osou kuželové plochy, budou svírat úhel 30° i s přímkou s osou rovnoběžnou.

Honzc · 01. 07. 2013 12:52 — Editoval Honzc (02. 07. 2013 12:26)

↑ bojga:
↑ jelena:
Já to vidím takto:
pro úhel dvou přímek daných parametricky platí:
$\cos \varphi =\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$
kde $a=(a_{1},a_{2,}a_{3}),b=(b_{1},b_{2,}b_{3})$ jsou směrové vektory přímek
Máme: $a=(a_{1},a_{2,}a_{3})=(-3,1,-4)$ a $\cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}$
Pak po dosazení a úpravách dostaneme:
$21b_{1}^{2}+37b_{2}^{2}+7b_{3}^{2}+12b_{1}b_{2}-48b_{1}b_{3}+16b_{2}b_{3}=0$
Protože hledaná přímka má procházet bodem $(0,0,0)$ budou souřadnice druhého bodu (označme ho např. B) zároveň souřadnicemi směrového vektoru b tedy $B=(b_{1},b_{2},b_{3})$
Zvolíme-li $b_{1}=1$ pak dostaneme rovnici:
$7b_{3}^{2}-16(3-b_{2})b_{3}+37b_{2}^{2}+12b_{2}+21=0$
Aby rovnice měla řešení o R musí platit: $b_{2}\in \langle-3.1078784028339,0.707878402339\rangle$
a z-tová souřadnice bodu B je řešením výše uvedené rovnice: $7b_{3}^{2}-16(3-b_{2})b_{3}+37b_{2}^{2}+12b_{2}+21=0$
Po editaci: Pozor.
Výpočet je proveden pro přímku procházející body (4,3,1) a (1,4,-3)

jelena · 01. 07. 2013 13:58

↑ Jj:, ↑ Honzc:

zdravím vás a děkuji za náměty,

↑ Honzc: vzorec jsem měla jako první nápad, ale přišlo mi technicky neřešitelné (ručně). Kolik řešení to tedy dává?

↑ Jj: kužel(y) s odchylkou boční stěny od zadané přímky (procházející výškou kuželu) byl druhý nápad, ale zadání bodu (0, 0, 0), přes který půjde "odchylující se přímka", mi převádí úlohu do roviny, kde vidím jen 2 řešení. A tak nevím.

Jj · 01. 07. 2013 19:31

↑ jelena:

S pomocí WA jsem našel:
2 vyhovující přímky ležící v rovině xz:
---------------------------------------
$x = t, y = 0, z = k_1\cdot t \vee z = k_2\cdot t$ , kde
$k_{1,2} = (1/7)(24\pm \sqrt{429})\doteq 0.4697, 6.387$
Jejich úhel se zadanou přímkou p:
$cos(\varphi_{1,2})\doteq 0.866037, 0.866031 \Rightarrow \varphi_{1,2} = 30°$

2 vyhovující přímky ležící v rovině x+3y=0
---------------------------------------------
$x = 3t, y = -t, z = p_1\cdot t \vee z = p_2\cdot t$ , kde
$p_{1,2} = (1/7)(80\pm 13 \sqrt{30})\doteq 1.257, 21.60$
Jejich úhel se zadanou přímkou p:
$cos(\varphi_{1,2})\doteq 0.866083, 0.866027 \Rightarrow \varphi_{1,2} = 30°$

Pokud jsem se někde nepěkně nezmýlil, tak existují více než dvě řešení.

Když vyhovují min. 4 přímky, tak předpokládám, že budou vyhovovat všechny přímky ležící na kuželu popsaném tady↑ Jj: a že obecný postup kolegy ↑ Honzc: by k tomu mohl vést.

jelena · 01. 07. 2013 19:46

↑ Jj:

děkuji velice - zkusím se na to podrobně podívat, ale asi ne dnes, spíš až o svátcích. Případně to mé řešení - dává tedy jen řez kuželem (kružnice) a mám hledat další řezy (nějak mi to uniká zatím)?

Jj · 01. 07. 2013 19:58

↑ jelena:

V Rektorysovi je příklad na odvození rovnice kužele rotací přímky kolem osy (i když ne s úplně obecnou polohou osy). Možná by stálo za to to zkusit, pokud by se našla "rozumná" rovnice přímky vyhovující zadání. Něco určitě zkusím taky.

Honzc · 02. 07. 2013 09:30 — Editoval Honzc (02. 07. 2013 12:30)

↑ jelena:
Zdravím,
moje řešení (šparně přečtené) a řešení ↑ Jj: jsou naprosto identická.
Když totiž v mém řešení nakradíš v rovnici $21b_{1}^{2}+37b_{2}^{2}+7b_{3}^{2}+12b_{1}b_{2}-48b_{1}b_{3}+16b_{2}b_{3}=0$
$b_{1}\;\text{za}\;x,b_{2}\;\text{za}\;y,b_{3}\;\text{za}\;z$ dostaneš rovnici stejného kuželu jaký navrhuje ↑ Jj:
Také v mém řešení souřadnic bodů $7b_{3}^{2}-16(3-b_{2})b_{3}+37b_{2}^{2}+12b_{2}+21=0$
je to vlastně rovnice elipsy v rovině x=1.
Tedy řešení je nekonečně mnoho.
Tady jsou obrázky:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jelena · 02. 07. 2013 10:14

↑ Jj:, ↑ Honzc:

Ještě pozdrav a ještě děkuji, o svátcích to budu číst :-)

Rumburak

Ahoj.

Můj způsob řešeni:

Jádrem úlohy je nalézt všechny JEDNOTKOVÉ vektory $(x, y, z)$ , které svírají s přímkou o směrovém vektoru $(1;4;-3)$ úhel 30° .
Dosazením do vzorce

$\cos \varphi(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{||\vec{u}||\cdot ||\vec{v}||}$

(na orientaci vektorů nezáleží, proto v čitateli zlomku vpravo je vhodné použít absolutní hodnotu) dostaneme rovnici

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{|x + 4y - 3z|}{\sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2}}$ ,

po úpravě

(1) $x + 4y - 3z = \pm \frac{\sqrt{78}}{2}$ ,

což jsou rovnice dvou rovin. Ty jsou souměrně sdružené podle počátku soustavy souřadnic a rovněž každá z hledaných přímek je symetrická
podle počátku, proto postačí z rovin (1) uvažovat pouze jednu, třeba tu, jejíž rovnice je

(2) $x + 4y - 3z = \frac{\sqrt{78}}{2}$ .

Nesmíme zapomenout na jednotkovou sféru o rovnici

(3) $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ ,

aby hledané směrové vektory byly jednotkové, jak jsme předpokládali. Jejich souřadnice tedy dostaneme jako řešení soustavy (2) , (3), což je
geometricky vzato průnik roviny se sférou, tedy kružnice.

EDIT. Opravena numerická chyba v rovnicích (1), (2).

Honzc · 02. 07. 2013 11:25 — Editoval Honzc (02. 07. 2013 11:45)

↑ Rumburak:
Zdravím,
jenom malá poznámka: 3*26=78,
a nemá ten směrový vektor $(1;4;-3)$ být spíše $(-3;1;-4)$ nebo $(3;-1;4)$

Rumburak · 02. 07. 2013 11:54

↑ Honzc:

Ahoj.

1) Máš pravdu, 3 * 26 = 78 (budu si muset občas zopakovat násobilku) .

2) Zápis "přímka ${[4;3;1],(1;4;-3)}$ " jsem přečetl tak, že přímka prochází bodem $[4;3;1]$ a má směrový vektor $(1;4;-3)$ .

Honzc · 02. 07. 2013 12:22

↑ Rumburak:
Tak ten směrový vektor jsem zase přečetl špatně já. Já jsem to bral jako, že přímka prochází body ${[4;3;1],[1;4;-3]}$ . Pak můj výpočet je špatně.

Rumburak · 02. 07. 2013 12:26

↑ Honzc:
Nojo, Bůh ví, jak to nakonec mělo být.

jelena · 05. 07. 2013 16:35

Zdravím v "průměrnověkově" nej-tématu :-)

Slíbila jsem číst, tak jsem trochu četla (i tak trochu něco jiného :-). Pořád mi to ale není jasné.

a) Úloha říká, že "máme počátkem souřadné soustavy vést všechny přímky, které s přímkou p svírají úhel 30°". Tedy "svírají úhel" není totéž jako "odchylka přímek v prostoru" a uvažuji pouze různoběžky (ne mimoběžky v prostoru s odchylkou - tak?) potom musí mít se zadanou přímkou společný bod. Potom ze zadaných údajů je řešení nenáročné ("průsečík přímek zadané a nové" + "odchylka přímek" dává soustavu 2 rovnic).

b) v každém bodu zadané přímky mohu vytvořit kužel z přímek odchylujících se od dané o 30 stupňů a zadaná přímka je osa takových kuželů. Ale zadaným bodem (0, 0, 0) půjdou jen 2 přímky - tak?

↑ Rumburak:

nevidím využití faktu, že přímka musí jít bodem (0, 0, 0). Děkuji. Jinak ohledně zadání jsem se ptala hned na úvod v 2. příspěvku, ovšem autor(ka) tématu je nedohlednu, což nijak nevadí :-).

Rumburak · 08. 07. 2013 09:21

↑ jelena:
Ahoj Jeleno.

Já jsem se snažil podat návod pouze v rozsahu nalezení směrových vektorů těch přímek.

Zda se měly uvažavat pouze různoběžky nebo i mimoběžky, na to odpovědět si netroufám.
Každopádně najdeme-li vedle různoběžek i mimoběžky, stačí na mimoběžky případně zapomenout a máme jen různoběžky :-),
podobně jako v té klasické hádance "Jak matematik chytá lva ?"

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jelena · 08. 07. 2013 13:51

↑ Rumburak:

Také zdravím :-)

a) ne lva, ale krokodýla,

Zobrazit/skrýt!

b) Jak lva chytá nematematik:

Zobrazit/skrýt!

c) stranu a vládu ovšem nezajímá můj rozhled v chytání lvů a krokodýlů a už vůbec ne v "rozmanitosti exportu Středočeského kraje" :-) Tak zdravím a jdu plnit požadavky SaV.

Skoro OT:

kolega Rumburak napsal(a):
Zda se měly uvažavat pouze různoběžky nebo i mimoběžky, na to odpovědět si netroufám.

:-) a tak - a co jsme tedy řešili celou dobu? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 30. 06. 2013 19:47 — Editoval bojga (30. 06. 2013 19:48)

odchylka dvou přímek

#2 01. 07. 2013 09:14

Re: odchylka dvou přímek

#3 01. 07. 2013 12:42

Re: odchylka dvou přímek

#4 01. 07. 2013 12:52 — Editoval Honzc (02. 07. 2013 12:26)

Re: odchylka dvou přímek

#5 01. 07. 2013 13:58

Re: odchylka dvou přímek

#6 01. 07. 2013 19:31

Re: odchylka dvou přímek

#7 01. 07. 2013 19:46

Re: odchylka dvou přímek

#8 01. 07. 2013 19:58

Re: odchylka dvou přímek

#9 02. 07. 2013 09:30 — Editoval Honzc (02. 07. 2013 12:30)

Re: odchylka dvou přímek

#10 02. 07. 2013 10:14

Re: odchylka dvou přímek

#11 02. 07. 2013 11:19 — Editoval Rumburak (02. 07. 2013 11:57)

Re: odchylka dvou přímek

#12 02. 07. 2013 11:25 — Editoval Honzc (02. 07. 2013 11:45)

Re: odchylka dvou přímek

#13 02. 07. 2013 11:54

Re: odchylka dvou přímek

#14 02. 07. 2013 12:22

Re: odchylka dvou přímek

#15 02. 07. 2013 12:26

Re: odchylka dvou přímek

#16 05. 07. 2013 16:35

Re: odchylka dvou přímek

#17 08. 07. 2013 09:21

Re: odchylka dvou přímek

#18 08. 07. 2013 13:51

Re: odchylka dvou přímek

kolega Rumburak napsal(a):

Zápatí