Matematické Fórum

martin21

Ahoj,
můžu se prosím zeptat na závěrečnou část paradoxu ... v podmnožině X je prvek beta, pro který neexistuje zobrazení. a pak je nějaké y ležící v alfa takový, že jeho zobrazením dostaneme podmnožinu ... neměl bych ale dostat tu druhou množinu?

Nvm prostě, jak se mohli z množiny dostat zobrazením do podmnožiny ...
Díky za radu :)

Rumburak · 03. 07. 2013 09:28

↑ martin21:
Ahoj.

Důkaz Cantorovy věty provedený v češtině (snad to bude srozumitelnější) je uveden zde, příspěvek #3.
Pokud ještě zbyde nějaká nejasnost, ptej se.

martin21

↑ Rumburak:

Díky moc, konečně jsem to pochopil :) Ještě se chci zeptat, jak by to vypadalo pomocí pojmů subvalence a ekvivalence množin. Tedy bez zavedení axiomu výběru??? Nastaly by nějaké rapidní změny v důkazu.

Ještě si ověřuji raději info, rpotože wikipedii jsem přestal nějak věřit :( Nemůže tedy existovat zobrazení prosté zobrazení z P(M) do M, ale takovým je identické zobrazení ... Nemýlím se?

Díky :) :) :)

Brano · 03. 07. 2013 10:44

↑ martin21:
Mas aj nejaky konkretny priklad kde na wiki maju nejaku chybu v matematike?

martin21

↑ Brano:
Řešil jsem Russelův paradox ... a byly tam populární variace s holičem, takže jsem hledal přesnou souvislost, ale pak mi bylo řečeno, že obě ty věty ukazují na jiný problém. Takže nevím, zda je to přesně chyba, ale 100 % jistý si taky nejsem...

I když na to teďkom koukám, ono to spíš byla chyba u mě, překvapivě teda ...

Brano · 03. 07. 2013 11:09

to ze sa nejedna presne o russelov paradox je napisane v 3. riadku pod "seznamy na wikipedii"

martin21 · 03. 07. 2013 11:12

↑ Brano:

V tom případě blbě čtu a nedávám pozor. Tak jsem za vola trochu ... :D

Rumburak

↑ martin21:

Nejsem natolik vyškolený v TeXu, abych v něm uměl obvyklé symboly používané pro subvalenci a ekvivalenci množin
(proto jsem C. větu tehdy formuloval pomocí mohutností množin, kde ty symboly nejsou potřeba) , takže si
nyní vypomohu náhradnímíi symboly.

Jsou-li $A, B$ množiny, potom budeme psát

$A \le^* B$ (čteme: množina A je subvalentní množině B) , právě když existuje prosté zobrazení $f : A \to B$ ;

$A =^* B$ (čteme: množina A je ekvivalentní množině B) , právě když existuje prosté zobrazení $f : A \to B$ takové, že $f[A] = B$ ;

$A <^* B$ (čteme: množina A je ostře subvalentní množině B) , právě když $A \le^* B \wedge \neg (A =^* B)$ .

Cantorova věta: Pro libovolnou množinu $M$ je $M <^* P(M)$ .

Důkaz.

Je-li $x\in M$ , potom $\{x\} \in P(M)$ , z toho plyne $M \le^* P(M)$ .

Předpokládejme nyní, že $M =^* P(M)$ . Existuje tedy prosté zobrazení $f$ , jehož definičním oborem je $M$ a oborem hodnot $P(M)$ .
Uvažujme množinu $D=\{x \in M; \,\, x \,\notin \, f(x) \}$ .
Zřejmě $D \in P(M)$ a tedy vzhledem k vlastnostem funkce $f$ existuje (a to právě jedno) $d \in M$ takové, že $D = f(d)$ .
Ptejme se, zda platí $d \in D$ nebo naopak $d \notin D$ . Snadnou úvahou dospějeme ke sporu

$d \in D$ tehdy a jen tehdy, když $d \notin D$ .

Celkem tedy máme dokázáno $M \le^* P(M) \wedge \neg (M =^* P(M))$ , takže $M <^* P(M)$ .

Nemůže tedy existovat zobrazení prosté zobrazení z P(M) do M, ale takovým je identické zobrazení ... Nemýlím se?

Mýlíš se. Uvažuj příklad:

$M := \{1, 2\}$ , potom $P(M) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\} , M \}$ .
Je-li $J$ identické zobrazení definované na množině $P(M)$ , pak oborem jeho hodnot je rovněž $P(M)$ , takže třeba
$J(\emptyset) = \emptyset \notin M$ .

martin21 · 03. 07. 2013 11:43

↑ Rumburak:

Díky :)

vanok · 03. 07. 2013 12:03 — Editoval vanok (03. 07. 2013 12:04)

A teraz si pozri co sa presne rozumie pod Cantorovym paradoxom, ( tiez znamy pod menom: paradox najvadcieho kardinalu)
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_paradox

Inac paradoxy posluzili na vytvorenie axiomatickych teorii mnozin, ktore su formulovane tak, ze tie paradoxy sa v nich neobjavia.
Pre matematicku kulturu, si pozri nieco aj o naivnej teorii mnozin.

Brano · 03. 07. 2013 17:23

↑ martin21:
Ani nie, treba si uvedomit, ze wikipedia je pisana jej pouzivatelmi a nie nejakou neomylnou autoritou. Teda zaruka jej spravnosti je len v tom, ze dany clanok muselo citat dostatocne vela ludi. T.j. mozu sa tam vyskytnut chyby a treba byt opatrny.

Ale realne som este ani raz nenarazil na chybu v matematickom clanku na slovenskej, ceskej a anglickej wiki (podotykam, ze v drvivej vacsine citam anglicku). To je ASI kvoli tomu, ze chyby v matematike sa asi rychlo najdu a opravia.

Matematické Fórum

#1 02. 07. 2013 20:57 — Editoval martin21 (02. 07. 2013 23:25)

Objasnění problému s Cantorovým paradoxem

#2 03. 07. 2013 09:28

Re: Objasnění problému s Cantorovým paradoxem

#3 03. 07. 2013 10:21 — Editoval martin21 (03. 07. 2013 10:26)

Re: Objasnění problému s Cantorovým paradoxem

#4 03. 07. 2013 10:44

Re: Objasnění problému s Cantorovým paradoxem

#5 03. 07. 2013 10:50 — Editoval martin21 (03. 07. 2013 10:51)

Re: Objasnění problému s Cantorovým paradoxem

#6 03. 07. 2013 11:09

Re: Objasnění problému s Cantorovým paradoxem

#7 03. 07. 2013 11:12

Re: Objasnění problému s Cantorovým paradoxem

#8 03. 07. 2013 11:18 — Editoval Rumburak (03. 07. 2013 17:09)

Re: Objasnění problému s Cantorovým paradoxem

#9 03. 07. 2013 11:43

Re: Objasnění problému s Cantorovým paradoxem

#10 03. 07. 2013 12:03 — Editoval vanok (03. 07. 2013 12:04)

Re: Objasnění problému s Cantorovým paradoxem

#11 03. 07. 2013 17:23

Re: Objasnění problému s Cantorovým paradoxem

Zápatí