Matematické Fórum

klix · 02. 07. 2013 19:42 — Editoval klix (02. 07. 2013 19:42)

Zdravím. potřeboval bych poradit s příkladem:

Zadání:

Výpočet:

a)
$\frac{1+i }{1-i} -2i(3+i)=$
$=\frac{1+i }{1-i} -6i-2i^{2}=$
$=\frac{1+i }{1-i} -6i+2=$
$=\frac{1+i+(-6i+2)*(1-i) }{1-i}=$
$=\frac{1+i-6i+6i^{2}+2-2i}{1-i}=$
$=\frac{3-7i-6}{1-i}=$
$=\frac{-3-7i}{1-i}$

jak z tohohle udělám "normální" komplexní číslo?

Hanis · 02. 07. 2013 19:43

Ahoj,
usměrněním, tj. vynásobením výrazem $\frac{1+i}{1+i}$

klix · 02. 07. 2013 20:04 — Editoval klix (02. 07. 2013 20:13)

ok, tak
$=\frac{-3-71}{1-i}* \frac{1+i}{1+i}=$
$=\frac{-3-7i-3i-7i^{2}}{1-i^{2}}=$ $\frac{4-10i}{2}=$
$=2-5i$

takže reálná část je 2, imaginární je -5i

b) komplexně združené číslo k tomuto číslu: z*= 2+5i

c)
$|z|= \sqrt{2^{2}+(-5)^{2}} =\sqrt{4+25} = \sqrt{29}$
$|z*|= \sqrt{2^{2}+(5)^{2}} =\sqrt{4+25} = \sqrt{29}$

Hanis · 02. 07. 2013 20:07

a) i b) je dobře

c) se počítá ze vztahu
$z=a+bi$
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

tedy to i se ti tam objevilo zbytečně a kvůli toho to máš špatně.....

a hlavně, chcou po tobě něco jiného, než spočítat velikost čísla 2-5i

klix · 02. 07. 2013 20:09 — Editoval klix (02. 07. 2013 20:20)

hned jsem si to uvědomil a opravil, a jak myslíš tedy že to mám "dokázat"?
myslím že tohle by už mělo být správně ne?

Freedy · 02. 07. 2013 20:39

Dokážeš to přes ten vztah co napsal hanis. Je totiz jedno jestli umocňuješ kladné číslo, nebo záporné. V obojím výjde číslo kladné, tudíž absolutní hodnota těchto dvou čísel bude vždy stejná

klix · 02. 07. 2013 20:49 — Editoval klix (02. 07. 2013 20:49)

ano, ten "důkaz" mám v postu víš, když to tak napíšu je to ok ne?
resp. celý příklad jak tu mám by už měl být v pořádku, ano?

Hanis · 02. 07. 2013 22:24

Ahoj,
jo, to by šlo, můžeš to dokázati obecně pro libovolná z.

klix · 03. 07. 2013 17:40 — Editoval klix (03. 07. 2013 17:46)

ok díky,
a pokud bych to číslo $z= 2-5i$ chtěl převést na goniometrický tvar tak správně je
$z= \sqrt{29} (\frac{2}{\sqrt{29}}- \frac{5i}{\sqrt{29}})$
nebo
$z= \sqrt{29} (\frac{2}{\sqrt{29}}+ \frac{5i}{\sqrt{29}})$ ?

Brano · 03. 07. 2013 17:48

↑ klix:
imaginarna cast cisla $2-5i$ je $-5$ a nie $-5i$

klix · 03. 07. 2013 17:53 — Editoval klix (03. 07. 2013 17:53)

ok, a s tím goniometrickým tvarem čísla je to jak?

Hanis · 03. 07. 2013 18:35

Ani jedno není dobře, v goniometrickém tvaru musí figurovat sinus a cosinus.

klix · 03. 07. 2013 19:21

takže takhle?
$z= \sqrt{29} (\cos \frac{2}{\sqrt{29}}+ i\sin (\frac{-5}{\sqrt{29}}))$

Hanis · 03. 07. 2013 19:29

Ne, to nesedí.
Bylo by třeba spočítat, pro jaký úhel alfa platí

$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{29}}$
$\sin \alpha=-\frac{5}{\sqrt{29}}$

což jen tak nevyřešíš...

klix · 03. 07. 2013 19:48 — Editoval klix (03. 07. 2013 19:48)

ok, tak pro tohle kompl. číslo se to nedá, ale kdyby bylo třeba $z= \sqrt{3}+i$ tak goniometrický tvar by byl $z= 2 (\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ )$
ano?

Hanis · 03. 07. 2013 19:56

Ano.

Rumburak

↑ klix:
Ahoj.
Jen tak pro zajímavost: některé učebnice formulují definici abs. hodnoty k.č. $z$ ve tvaru $|z| := \sqrt{z\cdot z^*}$ , kde $z^*$ je číslo
komplexně sdružené k $z$ . Takže uvážíme-li, že $(z^*)^* = z$ , potom důkaz rovnosti $|z| = |z^*|$ je ještě jednodušší.

Brano · 04. 07. 2013 10:24 — Editoval Brano (04. 07. 2013 10:24)

↑ Rumburak:
ak to tak aj nie je zadefinovane, tak sa to da v jednom kroku dokazat. t.j. ak je napr. definovane, ze pre $z=x+iy$ je $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ potom si staci vsimnut, ze $x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)=z\cdot z^*$ a potom postupovat ako si naznacil

Rumburak · 08. 07. 2013 09:32

↑ Brano:

Jasně, výrok $|z| = \sqrt{z\cdot z^*}$ nemusí být nutně definicí, může být i dokázanou větou.
Děkuji za doplnění.

Matematické Fórum

#1 02. 07. 2013 19:42 — Editoval klix (02. 07. 2013 19:42)

komplexní čísla

#2 02. 07. 2013 19:43

Re: komplexní čísla

#3 02. 07. 2013 20:04 — Editoval klix (02. 07. 2013 20:13)

Re: komplexní čísla

#4 02. 07. 2013 20:07

Re: komplexní čísla

#5 02. 07. 2013 20:09 — Editoval klix (02. 07. 2013 20:20)

Re: komplexní čísla

#6 02. 07. 2013 20:39

Re: komplexní čísla

#7 02. 07. 2013 20:49 — Editoval klix (02. 07. 2013 20:49)

Re: komplexní čísla

#8 02. 07. 2013 22:24

Re: komplexní čísla

#9 02. 07. 2013 22:48 Příspěvek uživatele klix byl skryt uživatelem klix.

#10 03. 07. 2013 17:40 — Editoval klix (03. 07. 2013 17:46)

Re: komplexní čísla

#11 03. 07. 2013 17:48

Re: komplexní čísla

#12 03. 07. 2013 17:53 — Editoval klix (03. 07. 2013 17:53)

Re: komplexní čísla

#13 03. 07. 2013 18:35

Re: komplexní čísla

#14 03. 07. 2013 19:21

Re: komplexní čísla

#15 03. 07. 2013 19:29

Re: komplexní čísla

#16 03. 07. 2013 19:48 — Editoval klix (03. 07. 2013 19:48)

Re: komplexní čísla

#17 03. 07. 2013 19:56

Re: komplexní čísla

#18 04. 07. 2013 09:51 — Editoval Rumburak (04. 07. 2013 09:54)

Re: komplexní čísla

#19 04. 07. 2013 10:24 — Editoval Brano (04. 07. 2013 10:24)

Re: komplexní čísla

#20 08. 07. 2013 09:32

Re: komplexní čísla

Zápatí