Matematické Fórum

Sherlock

Vydělíme-li hledané číslo 2,3,4,5,6, zbytek po dělení bude 1. Vydělíme-li je číslem 7, výsledek bude beze zbytku.

Fakta: Číslo musí končit číslem 1 (kvůli zbytku po dělení pětkou a kvůli tomu že je liché)
Můj pokus: Číslo N je číslo o 1 menší než číslo hledané. N je dělitelné 2,3,4,5,6, tj. dá se zapsat ve tvaru $2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot n$ tj. $60n$ . Jestliže číslo N vydělím 7, bude zbytek 6.
Tj: $\frac{60n-6}{7}$ je celé číslo. Pak jsem zkoušel, pro která n bude ten výraz celé číslo.

$\frac{60n-6}{7}=\frac{6}{7}\cdot (10n-1)$ substituce $10n-1=A$

$\frac{6}{7}A$ je celé číslo, A musí být násobkem 7, vyjádřím si je tedy např. takto: $A=7m$ , $m\in \mathbb{N}$

$7m=10n-1$ , hledané n má tvar: $n=\frac{7m+1}{10}$

Zpátky k původnímu: $\frac{60n-6}{7}$ je celé číslo - tohle platí pro N. N má tvar $60n$ , dosadím: $60\cdot (\frac{7m+1}{10})=6\cdot 7m+6=42m+6$ . $N=42m+6$ a tedy hledané číslo má ZŘEJMĚ tvar: $42m+7$ (dvakrát podtrženo)

No a pak jsem zkoušel a zkoušel :-) .. $y=42m+7$
$y=\{7,49,91,133,175,217,259,301,...\}$ Po zkoušení mi vypadlo že 2.,7.,12.,17., že prostě každý člen ve tvaru $2+5a$ , $a\in \mathbb{N}$ splňuje tu podmínku (že číslo musí končit jedničkou).

Finální výsledek: Hledané číslo je číslo ve tvaru $210a+91$

Následovalo zklamání že to rovněž funguje jen někdy, pouze pro každý člen s lichým pořadím :-) tj. 301,721 atd.. Pro 91,511 to nefunguje.

Proč?

Jak byste to řešili vy?

zdenek1 · 07. 07. 2013 08:34

↑ Aktivní:
Začátek vypadá rozumně. Já bych pokračoval takto:
$x$ je hledané číslo. Pak
$x=60n+1=7k$ (n,k celá čísla)
$k=\frac{60n+1}{7}=8n+\frac{4n+1}{7}$
takže
$4n+1=7t\ \Rightarrow \ n=\frac{7t-1}{4}=t+\frac{3t-1}{4}$ (t celé číslo)
takže
$3t-1=4a\ \Rightarrow \ t=a+\frac{a+1}{3}$ (a celé číslo)
Takže $a=3b-1$
Nyní po zpětném dosazení dostaneš
$x=420b-119$ , $b\in\math Z$

Matematické Fórum

#1 06. 07. 2013 23:41 — Editoval Aktivní (06. 07. 2013 23:51)

Hledáme číslo, které po vydělení několika čísly dává zbytek 1...

#2 07. 07. 2013 08:34

Re: Hledáme číslo, které po vydělení několika čísly dává zbytek 1...

Zápatí