Matematické Fórum

Indie · 07. 07. 2013 18:32

Ahojte,

neviem si poradiť s konvergenciou integrálu $\int_{0}^{+\infty} \frac{x^m}{1+x^2}$ v závislosti na m.
Keďže i nula môže byť kritickým bodom, rozdelila som integrál na dva: od 0 do 1 a od 1 do nekonecna a skusila použiť limitný tvar zrovnávacieho kritéria, napr. porovnávaciu funkciu $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ , ale nevychádza mi to. Ďakujem za pomoc.

vanok · 07. 07. 2013 19:55 — Editoval vanok (08. 07. 2013 07:17)

Ahoj ↑ Indie:,
Na studium konvergencie nevlastnych integralov je najednoduchsie pouzit pojem ekvivalentnych funkcii. ( presnejsie nejaka funkcia a jej ekvivalant v okoli nejakeho bodu maju zaroven konvergentne alebo divergentneich integraly )

V okoli $0^+$ mame $\frac{x^m}{1+x^2} \sim_{0^+} x^m$

V okoli $+\infty$ mame $\frac{x^m}{1+x^2} \sim_{+\infty} x^{m-2}$

Tento vysledok ti znacne zjednodusi pracu ( teraz ide o velmi zname vysledky vydene na prednaske).

Kontrola

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 07. 07. 2013 20:37 — Editoval vanok (07. 07. 2013 20:38)

Vylepsenie:
Vysetrite za akych podmienok $\int_{0}^{+\infty} \frac{x^m}{1+x^n}dx$ je konvergetny.

Indie · 08. 07. 2013 05:34

↑ vanok:

Tak pre integrál $\int_{0}^{1} \frac{x^m}{1+x^n}dx$ by som položila $\frac{x^m}{1+x^n}\sim x^m$ , teda odtiaľ mám podmienku $m> -1$ .

Pre integrál $\int_{1}^{+\infty} \frac{x^m}{1+x^n}dx$ by som položila $\frac{x^m}{1+x^n}\sim x^{m-n}$ , teda odtiaľ mám podmienku $n>m+1$ .

Celkovo: integrál konverguje prave ak $(m> -1)\wedge ( n>m+1)$ , ale to by asi platilo len pre $n\ge 0$ , takže to mám ešte vyšetriť pre $n<0$ ?

vanok · 08. 07. 2013 07:18

↑ Indie:,
Co pises plati pre $n>0$
Pripad $n=0$ treba podrobne vysetrit.
Pozor pre ekvivalencie treba vzdy pisat v okoli akeho bodu plati. ... Ako som to pisal v mojom prispevku.

Pozor v kontrole moj ho prispevku bol preklep, ktory som opravil.

Matematické Fórum

#1 07. 07. 2013 18:32

Konvergencia integrálu

#2 07. 07. 2013 19:55 — Editoval vanok (08. 07. 2013 07:17)

Re: Konvergencia integrálu

#3 07. 07. 2013 20:37 — Editoval vanok (07. 07. 2013 20:38)

Re: Konvergencia integrálu

#4 08. 07. 2013 05:34

Re: Konvergencia integrálu

#5 08. 07. 2013 07:18

Re: Konvergencia integrálu

Zápatí