Matematické Fórum

Freedy · 12. 07. 2013 00:53 — Editoval Freedy (12. 07. 2013 01:16)

Dobrý večer, počítám tu už skoro hodinu, a nějak nedokážu dokázat jinak triviální věc:
$x^2y + xy^2 < = x^3 + y^3$ pro $x,y\in \mathbb{R}^{+}$

násobil jsem trojkou a přičetl k oboum stranam x^3 a y^3:
$(x+y)^3 \le 4(x+y)(x^2-xy+y^2)$
z toho:
$(x+y)^2 \le 4(x^2-xy+y^2)$

:D jo děkuju za pomoc, já jsem jen hrozně zbrklej... Nechápu proč ale dal sem to sem a hned mi to začalo v mozku pracovat... dokončím:
$x^2+2xy+y^2\le 4x^2-4xy+4y^2$
$3(x-y)^2\ge 0$
nerovnost platí ;)...

PS: děkuju za dokazani nerovnosti kterou jsem zbrkle napsal špatně :)

BakyX · 12. 07. 2013 01:09 — Editoval BakyX (12. 07. 2013 01:10)

Ak $x \ge y$ , tak $x^3 \ge x^2y$ .

Ak $x \le y$ , tak $y^3 \ge x^2y$ .

Rovnosť nenastáva. Dá sa dokázať niečo silnejšie:

$x^3+y^3 \ge 3 \sqrt[3]{\frac{1}{4}}x^2y$ .

Tu už rovnosť nastáva, pre $x=\sqrt[3]{2}y$ .

BakyX · 12. 07. 2013 01:13 — Editoval BakyX (12. 07. 2013 01:14)

↑ Freedy:

Vidím, že si opravil zadanie. Pokračovanie tvojho riešenia:

Roznásob to, uprav, doplň na štvorec.

Btw. Nemusel si násobiť trojkou a pripočítavať $x^3+y^3$ . Skrátka: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ a $xy^2+x^2y=xy(x+y)$ .

Matematické Fórum

#1 12. 07. 2013 00:53 — Editoval Freedy (12. 07. 2013 01:16)

Nerovnosti

#2 12. 07. 2013 01:09 — Editoval BakyX (12. 07. 2013 01:10)

Re: Nerovnosti

#3 12. 07. 2013 01:13 — Editoval BakyX (12. 07. 2013 01:14)

Re: Nerovnosti

Zápatí