Matematické Fórum

frantax · 12. 07. 2013 12:49

Ahoj, mam zadani: Reste cauchyho ulohu, a chci se zeptat co delam spatne, protoze me vychazi pod odmocninou zaporne cisla.
Dekuji.

$y'=\frac{xy^2-x}{x^2y-y} [y(1/2)=-2]$

$\frac{1}{2}ln(y^2-1)=\frac{1}{2}ln(x^2-1)+C$ po spocitani integralu

$\sqrt[2]{y^2-1}=\sqrt[2]{x^2-1}*C$

$\frac{\sqrt[2]{y^2-1}}{\sqrt[2]{x^2-1}}=C$ kdyz dosadim za x=1/2 a y=-2 vyjde pod odmocninou zaporne cislo.

jelena · 12. 07. 2013 13:25

Zdravím,

ve vzorcích integrování by se měla objevit absolutní hodnota (to se běžně zapomíná) - jinak jsem celý postup nekontrolovala, ale pro úpravu bych nejdřív řádek "po spočítání integrálu" vynásobila 2 a také je dobré přeznačovat C (jednou je C, potom je C1=ln(C)).

Bude to tak v pořádku? Děkuji.

frantax · 12. 07. 2013 14:10

↑ jelena:

No pokud dam absolutni hodnotu pod tu odmocninu tka uz tam zaporne cislo mit nebudu, jinak tim ze dam *2 se to nijak nezmeni ne ? a vysledek je podle MAW Takový

jelena · 12. 07. 2013 16:07

↑ frantax:

absolutní hodnotu třeba mít (zeptám se potom v sekci podpory (nejen) MAW), proč není absolutní hodnota.

$\frac{1}{2}\ln |y^2-1|=\frac{1}{2}\ln |x^2-1|+C$ pokud mám jen počítat C, tak mohu rovnou dosazovat hodnoty z počáteční podmínky.

Pokud bych měla vyjádřit $y=f(x)$ , tak bych ještě upravovala:
$\ln |y^2-1|=\ln |x^2-1|+2C$
$\ln |y^2-1|=\ln |x^2-1|+\ln e^{2C}$
$\ln |y^2-1|=\ln (e^{2C}|x^2-1|)$ , zde přeznačím $e^{2C}=C_1$
$|y^2-1|=C_1|x^2-1|$ a v tomto kroku si nemyslím, že mohu absolutní hodnotu jen tak odmyslit, ale postupně - tak bych to viděla.

frantax · 12. 07. 2013 16:23

↑ jelena:

ok díky.

Hanis · 12. 07. 2013 17:23

Ahoj

$\forall C_1\in R:~e^{2C_1}>0$

označme $e^{2C_1}=C_2$

$|y^2-1|=C_2|x^2-1|$

Když bude platit $sign(y^2-1)= sign(x^2-1)$ , odstraníme absolutní hodnotu tak, že $C=C_2$
Když bude platit $sign(y^2-1)\neq sign(x^2-1)$ ,odstraníme absolutní hodnotu tak, že $C=- C_2$

Takže stačí z $C_2\in R^+$ udělat $C \in R$ (a pořešit, zda C=0 je taky řešením).

MAW jsem nezkoumal, on neukazuje, z jakého oboru konstantu bere?

jelena · 14. 07. 2013 09:58

↑ Hanis:

Také pozdrav :-) Děkuji, určitě to tak může být.

V tomto tématu jsem nakonec úpravy pro bezrizikovost absolutní hodnoty snad našla.

MAW jsem nezkoumal, on neukazuje, z jakého oboru konstantu bere?

statistiky využití MAW z Opavy kazím nezodpovědným přístupem k využití - na hlavní stránce ihned přecházím přes levý dolní roh a zkoumám "Geolocation". Ukazuje skvěle :-).

Tuto úlohu jsem prošla přes kroky integrování apod. (zde nebyl problém s absolutní hodnotou), přímo v řešení dif. rovnice podrobnosti o konstantě neuvádí.

Ono je to stejně tak - určitě bych MAW doporučila, pokud nevím, jak začít (typ dif. rovnice, úprava na použitelný tvar, základní kroky), integrování (také základní kroky), případně náhled na výsledek. Ale jak píše i sám vážený autor ohledně různých úskalí, tak podrobné řešení bych prováděla ručně - jelikož zde např. MAW neprovádí počáteční rozbor zadání, def. obory, nulové body dif. rovnice ohledem na f(x), g(y) atd. Zde je takových momentů celkem dost.

Zápis, který nabízí jako řešení, se mi jeví úpravou na "nejpohodlnější tvar na derivování", je bez komentáře ohledně def. oborů (ovšem to jde napravit průchodem přes další sekce MAW).

Potíž je i v tom, že WA nepoužívá absolutní hodnotu ani v takovém případě (integrování 1/x). Lepší závěr, než závěr hodnocení kolegy jarrro ještě nikdo nevymyslel :-)

Navíc tato úloha požadovala nalezení C pro počáteční podmínku, což by raději provedla hned 1. řešením s absolutní hodnotou (která v místních poměrech má být), bez dalších úprav (vždy je v úpravách riziko chyby).

Matematické Fórum

#1 12. 07. 2013 12:49

Diferenciální rovnice

#2 12. 07. 2013 13:25

Re: Diferenciální rovnice

#3 12. 07. 2013 14:10

Re: Diferenciální rovnice

#4 12. 07. 2013 16:07

Re: Diferenciální rovnice

#5 12. 07. 2013 16:23

Re: Diferenciální rovnice

#6 12. 07. 2013 17:23

Re: Diferenciální rovnice

#7 14. 07. 2013 09:58

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí