Matematické Fórum

StanciZV · 14. 07. 2013 17:13

Zdravím,
mám problém s nasledovným príkladom:

"V dave 100 ľudí sa nachádza 10 takých, čo majú čierne vlasy, 20 takých čo majú modré oči a 2 osoby vlastnia zelené tričko. Aká je pravdepodobnosť, že sa v dave nachádza ASPOŇ 1 osoba, ktorá má čierne vlasy, modré oči a zelené tričko ?"

Ide mi viac-menej o ten postup. Viem, že sa to robí nejako tak, že sa od 100% odčítava pravdepodobnosť tých ostatných prípadov, ale neviem ako na to. (Aj výsledok by bodol :))

Ďakujem

Blackflower

↑ StanciZV: To, čo som sem napísala, nie je úplne zle, ale od správneho to má ďaleko. Zatiaľ dávam hide a zamyslím sa nad tým.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jj · 15. 07. 2013 00:34 — Editoval Jj (15. 07. 2013 02:04)

↑ Blackflower:

Zdravím, taky jsem se nad tím příkladem zamýšlel - řekl bych, že výsledná pravděpodobnost musí být podstatně nižší.

Mi to dnes u tohoto příkladu vůbec "nechce myslet", sám jsem na nic kloudného nepřišel, ale pokud se nepletu, tak by součin 0.9*0.8*0.98 = 0.7056 měl ještě být odečten od 1, ale i tak se mi zdá výsledek 0.2944 ještě příliš veliký (pokud zvážíme, že událost C má pravděpodobnost jen 0.02 a má k ní dojít ještě současně s událostmi A a B).
Podle mne se vypočtená pravděpodobnost 0.7056 se týká jen lidí, kteří nemají žádnou z vlastností A, B a C, což označím $(\bar{A} \wedge \bar{B} \wedge \bar{C})$ , a předpokládám, že by proto ještě měla být snížena o pravděpodobnosti kombinací vlastností
$A\wedge B \wedge \bar{C}, A\wedge \bar{B} \wedge C, \bar{A} \wedge B \wedge C, \dots , A \wedge \bar {B} \wedge \bar{C},\bar {A} \wedge B \wedge \bar{C}, \dots$ .

Snad jsem to úplně nepopletl.

Edit:
Nedalo mi to, tak jsem to ještě přepočítal podle výše uvedeného a vyšlo mi, že pravděpodobnost, že člověk z uvedené skupiny lidí nemá 1 až 3 vlastnosti z vlastností A, B a C = 0.9996. Čili pravděpodobnost, že všechny uvedené vlastnosti má = 1 - 0.9996 = 0.0004.

Legrační je, že 0.0004 = 0.1*0.2*0.02, čili součin pravděpodobností jevů A, B, C podle zadání příkladu. Takový postup jsem přitom předem jaksi vylučoval.

Mám dojem, že jsme se oba nechali v zadání něčím svést, že takto jednoduše získaný výsledek P = 0.0004 je řešením příkladu (ovšem pořád je tu ještě zadání "... že sa v dave nachádza ASPOŇ 1 osoba..."). Co myslíte?

bejf · 15. 07. 2013 19:59 — Editoval bejf (15. 07. 2013 20:00)

↑ Blackflower:↑ Jj:
Já myslím, že na to jdete asi správně, jen je to třeba provést ještě pro případ, kdy budou právě dvě osoby splňovat všechny tři jevy a sečíst.

Blackflower

↑ Jj: ↑ bejf:
Mám ďalší nápad, ale neviem, či je to správna cesta.
Pravdepodobnosť, že práve jeden človek bude spĺňať všetky tri veci, bude rovná:
$\left( 0,1\cdot 0,2\cdot 0,02\cdot {100 \choose 1} \right)\cdot \left( P(D)\cdot {100 \choose 99} \right)$
Prvý činiteľ = pravdepodobnosť, že náš vybraný človek bude spĺňať všetko krát počet spôsobov, ktorými môžeme tohto človeka vybrať.
Druhý činiteľ = pravdepodobnosť, že každý zo zvyšných 99 ľudí aspoň jednu vec nespĺňa krát počet spôsobov, ktorými môžeme týchto 99 ľudí vybrať.
Pre k ľudí by to teda bolo takto:
$\left( 0,1\cdot 0,2\cdot 0,02\cdot {100 \choose k} \right)\cdot \left( P(D)\cdot {100 \choose 100-k} \right)$

P(D) neviem. :-/

StanciZV · 15. 07. 2013 23:30

↑ Jj: ↑ bejf: ↑ Blackflower:

Zatiaľ ďakujem všetkým za odpovede

Rumburak

↑ StanciZV:

Ahoj.

Zkusme vyjít z kombinatoriky.

V rámci uvažovaného stoprvkového davu $D$ označme

$A$ 10-ti prvkovou množinu všech černovlasých ,
$B$ 20-ti prvkovou množinu všech modrookých a
$C$ dvouprvkovou množinu všech vlastníků zeleného trička.

Celkový počet možností, jak takové množiny $A, B, C$ mohou koexistovat, aniž bychom se starali o další, je

$m = {100 \choose 10}\cdot {100 \choose 20}\cdot {100 \choose 2}$ .

Ptáme se, jaká je pravděpodobnost, že tyto tři množiny mají neprázdný průnik (tento jev označme třeba $Q$ ).
Bude nás proto zajímat počet $m_Q$ všech možností, jak naplnění jevu $Q$ zajistit.

Pro volbu dvouprvkové množiny $C$ máme ${100 \choose 2}$ možností, uvažujme pevně jednu z nich.

Pro volbu 10-ti prvkové $A \subset D$ , která má s $C$ jednoprvkový půnik, je $2{98 \choose 9}$ možností (nazvěme tento
případ případem I), dvouprvkový průnik $A\cap C = C$ je zajištěn ${98 \choose 8}$ možnostmi (případ II).

Nyní mějme pevně množiny $C, A$ a hledejme vhodnou množinu $B \subset D$

Počet možností k jednotlivému výskytu případu I je ${99 \choose 19}$ . *)
Počet možností k jednotlivému výskytu případu II je analogicky jako výše ${98 \choose 18} + 2{98 \choose 19}$ .

Počet všech možností, jak množinami $A, B, C$ zajistit naplnění jevu $Q$ , je proto roven číslu

$m_Q = {100 \choose 2}\cdot \[2{98 \choose 9}{99 \choose 19} + {98 \choose 8}\[2{98 \choose 19} + {98 \choose 18}\] \]$ . *)

Nyní již stačí použít klasický vzorec $p_Q = \frac{m_Q}{m}$ a dopočítat.

*) EDIT. Ještě jsem na dvou místech opravil chyby vzniklé nepozorným kopírováním kombinačního čísla, za což se omlouvám.

Jj · 16. 07. 2013 12:53

↑ Rumburak:

Tak to je tedy pecka, všechna čest.

Podle WA P_q = 593/18150

Rumburak

V mém předchozím výpočtu mi pořád něco nesedí, tak ještě jinak:

Předpokládejme, že $C =\{u, v\} , u \neq v$ .

Případů, kdy $A \cap B \cap C = C$ , je ${98 \choose 8} {98 \choose 18}$ .

Případů, kdy $A \cap B \cap C = \{u\}$ , je ${99 \choose 9} {98 \choose 19} + {98 \choose 9} {99 \choose 19} - {98 \choose 9} {98 \choose 19}$ .
(První sčítanec odpovídá situaci, kdy $v \notin B$ s možností $v \in A$ , druhý situaci $v \notin A$ s možností $v \in B$ ,
avšak aby situace $v \notin A \wedge v \notin B$ nebyly započítány dvakrát, musíme jejich počet jednou odečíst.)

Případů, kdy $A \cap B \cap C = \{v\}$ , je rovněž ${99 \choose 9} {98 \choose 19} + {98 \choose 9} {99 \choose 19} - {98 \choose 9} {98 \choose 19}$ .

Pak tedy

$m_Q = {100 \choose 2}\[{98 \choose 8} {98 \choose 18} + 2\[{99 \choose 9} {98 \choose 19} + {98 \choose 9} {99 \choose 19} - {98 \choose 9} {98 \choose 19}\] \]$ .

Jj · 17. 07. 2013 13:54

↑ Rumburak:

Teď WA ukazuje 2159/54450 = 0.03965

Rumburak · 17. 07. 2013 16:28

↑ Jj:
Zdravím a děkuji za numerické výpočty.
Až s určitým časovým odstupem mi možná bude jasné, která z mých dvou versí je případně správná :-) .

vanok · 17. 07. 2013 17:19

Poznamka: toto je dost zaujimave
http://cs.wikipedia.org/wiki/Princip_inkluze_a_exkluze

StanciZV · 17. 07. 2013 21:23

↑ Rumburak:

Ďakujem za návody. Ja by som sa k takému niečomu nikdy sám nedopracoval.

martisek

↑ StanciZV:

Ahoj,

já bych na to šel asi takto:

Označme černé vlasy c, modré oči m, zelené tričko z. Možností, jak do sta lidí zamíchat

černé vlasy je ${100 \choose c}$

modré oči ${100 \choose m}$

Vlasy a oči jsou nezávislé, tj. možností, jak do sta lidí zamíchat lidi c nebo m je

${100 \choose c}\cdot {100 \choose m}$

Jaká je pravděpodobnost, že ani jeden nebude c a současně m? Každá příznivá možnost znamená, že ve sto lidech bude 100-c-m lidí, kteří nejsou ani c, ani m. Těchto možností je

${100 \choose 100-c-m}$

takže pravděpodobnost je

$P'(cm)=\frac{{100 \choose 100-c-m}}{{100 \choose c}\cdot {100 \choose m}}$

Pravděpodobnost, že aspoň jeden bude c a současně m, je

$P(cm)=1-P'(cm)=1-\frac{{100 \choose 100-c-m}}{{100 \choose c}\cdot {100 \choose m}}$

Podobně pravděpodobnost, že aspoň jeden bude c a současně z, je

$P(cz)=1-P'(cz)=1-\frac{{100 \choose 100-c-z}}{{100 \choose c}\cdot {100 \choose z}}$

Jaká je pravděpodobnost, že ani jeden nebude c a současně m nebo c a současně z? Každá příznivá možnost znamená, že ve sto lidech bude 100-c-m-z lidí, kteří nejsou ani c, ani m, ani z. Těchto možností je

${100 \choose 100-c-m-z}$

takže pravděpodobnost je

$P'(cm\cup cz)=\frac{{100 \choose 100-c-m-z}}{{100 \choose c}\cdot {100 \choose m}\cdot {100 \choose z}}$

$P(cm\cup cz)=1-P'(cm\cup cz)=1-\frac{{100 \choose 100-c-m-z}}{{100 \choose c}\cdot {100 \choose m}\cdot {100 \choose z}}$

No a protože hledáme $P(cm\cap cz)$ , stačí už jen využít toho, že

$P(cm\cup cz)=P(cm) + P(cz) - P(cm\cap cz)$

Jenom se obávám, že barvy očí a vlasů nejsou nezávislé. Modroocí jsou totiž většinou blonďáci a černovlasí mívají oči buď černé, anebo hnědé...