Matematické Fórum

Fobl · 17. 07. 2013 12:33

Dobrý den.
Mám zadání.
Vyšetřete průběh funkce $f(x)=\frac{1}{x}+4x^{2}$
Určil jsem si body nespojitosti. V našem případě byl 0, a tudíž definiční obor je $D(f)=R-\{0\}$
Poté jsem si spočet limity pro +- nekočno a nulu, takto.
$\lim_{x\to\infty }\frac{1}{x}+4x^{2}=\infty \\ \lim_{x\to-\infty }\frac{1}{x}+4x^{2}=\infty \\ \lim_{x\to0-}\frac{1}{x}+4x^{2}=-\infty\\ \lim_{x\to0+} \frac{1}{x}+4x^{2}=\infty$
Spočítal jsem stacionární body.
$0=-x^{-2}+8x\\ 0=-\frac{1}{x^{2}}+8x\\ -8x=-\frac{1}{x^{2}}\\ -8x^{3}=-1\\ x^{3}=-\frac{1}{8}\\ x=\frac{1}{2}$
Dále jsem spočítal, zda je funkce sudá či lichá.
$f(x)=\frac{1}{\frac{1}{2}}+4(\frac{1}{2})^{2}=3\\ f(-x)=\frac{1}{-\frac{1}{2}}+4(-\frac{1}{2})^{2}=-1$
Jelikož f(x) není rovno f(-x), není funkce sudá.
$-f(x)=-3$
A jelikož -f(x) není rovno f(-x), není funkce ani lichá.
Vím, že funkce není periodická, ale teď nevím, jak to spočtu.
Dále spočtu inflexní body, ale přesně nevím jak a potom by mně ještě zbývalo určit, zda je funkce rostoucí nebo klesající, jejím minimum, infimum, maximum, suprémum, obor hodnot a co je grafem funkce a načrtnutí grafu. Mám dojem, že grafem funkce je parabola.

Fobl · 17. 07. 2013 12:38

Ještě jsem zapomněl uvést 1. a 2 derivaci.
1. derivace $-x^{-2}+8x$
2. derivace $2x^{-3}+8$

Rumburak · 17. 07. 2013 16:53

↑ Fobl:

Ahoj.

Jen několik poznámek:

1) Řešením rovnice $x^{3}=-\frac{1}{8}$ v reálném oboru je $x= \fbox{-} \frac{1}{2}$ .

2) Grefem té funkce NENÍ parabola.

3) Že funkce není periodická, vyplyne později z poznatků o intervalech její monotonie.

4) Inflexní bod je takový, v němž je funkce spojitá, hladká a jehož průchodem se mění ryzí konkávnost na ryzí konvexnost
- případně obráceně; jeho průchodem dochází ke změně znaménka druhé derivace.

user · 17. 07. 2013 17:39 — Editoval user (17. 07. 2013 17:39)

Ještě jedna poznámka, sudost a lichost funkce se vyšetřuje pro všechna $x$ a ne pro jedno konkrétní. Pro vyvrácení sudosti nebo lichosti lze tento postup použít, ale rozhodně ne naopak.

V tomto konkrétním příkladě jsi sudost i lichost vyvrátil, ale stejným postupem bys to nemohl potvrdit.

Jj · 17. 07. 2013 17:42

↑ Rumburak:

ad 1) Kolega ↑ Fobl: udělal při řešení rovnice chybu ve znaménku 2x - takže pro stacionární bod platí $x=\frac{1}{2}$

Rumburak · 18. 07. 2013 09:56

↑ Jj:
Děkuji, této chyby jsem si už nevšiml. :-)

Fobl · 18. 07. 2013 11:52

Dobrý den.
Při řešení rovnice jsem udělal chybu ve znaménku, kde jsem místo $\frac{1}{8}$ napsal $-\frac{1}{8}$ Výsledek, už jsem měl uvedený správně, tj. $\frac{1}{2}$ Počítal jsem to na papír a špatně jsem to sem opsal. Četl jsem, že parabola musí být osově souměrná, takže proto to být nemůže. Neví někdo, co může být grafem této funkce.
Ještě jsem spočítal nulové body:
0. derivace, tj.
$0=\frac{1}{x}+4x^{2}\\ -4x^{2}=\frac{1}{x}\\ -4x^{3}=1\\ x^{3}=-\frac{1}{4}\\ x=\sqrt[3]{-\frac{1}{4}}$
což se dá zapsat také jako:
$x=-\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
1. derivace uveden výše, což jsou stacionární body.
a 2. derivace jsou:
$2x^{-3}+8=0\\ x^{-3}+4=0\\ x^{-3}=4\\ \frac{1}{x^{3}}=4\\ x^{3}=\frac{1}{4}\\ x=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
Teď by mně zbývalo určit H(f), na jakém intervalu, je funkce rostoucí a na jakém klesající, k čemuž potřebuju znát lokální minimum či maximum(v našem případě by to mělo být minimum) a po té jestli je funkce konvexní nebo konkávní (v našem případě by měla být konvexní). Nakonec si sestavim tabulku, kdy si dosadim za x libovolné reálné číslo, kromě 0, protože to je v našem případě bod nespojitosti, takže to bude asymptota, tím nám vyjdou hodnoty pro y a body přenesu do grafu, a tím ho mohu načrtnout. Ale teď mám otázku, jak spočtu extrémy.

Honzc · 18. 07. 2013 13:11

↑ Fobl:
1. $H(f) : (-\infty ,\infty )$
2. Ve výpočtu inflexních bodů (tam kde je 2.derivace rovna 0) máš chybu
má být $x^{3}=-\frac{1}{4}\\x=-\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
3. Zjištění zda stacionární bod je minimem nebo maximem, spočítáš, že tento bod dosadíš do druhé derivace. Bude-li hodnota menší než nula-maximum, větší než nula-minimum
$y''=2x^{-3}+8\\ y''(\frac{1}{2})=2\cdot (\frac{1}{2})^{-3}+8=24>0\Rightarrow \text{minimum}$
4.Souřadnice minima: $y=\frac{1}{\frac{1}{2}}+4(\frac{1}{2})^{2}=3\Rightarrow M=(\frac{1}{2},3)$
5.Asymptota bez směrnice: $x=0$
6. Funkce není parabola a vypadá takto: