Matematické Fórum

mancini · 21. 07. 2013 14:36

Ahoj,

rozhodnul jsem se spočítat většinu Děmidoviče a teď jsem se zaseknul u pár limit, k jejichž řešení mi evidentně chybí nějaká finta fň.

$\lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}$

Snažil jsem se to různě ladit a likvidovat odmocniny, ale nakonec mi ve jmenovateli vždycky skončí $x-7$ , všude kolem otřesný mocniny a odmocniny a nehnul jsem se z místa už asi hodinu.

Nepotřebuju výsledek, jelikož se to chci naučit, ale budu moc rád za popostrčení správným směrem.

Díky,
M.

Stýv · 21. 07. 2013 14:43

nemá to být $\lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x+2}{\color{red}-}\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}$ ? takhle by to bylo triviální

pokud tam má být to mínus, tak v čitateli máš rozdíl 6. odmocnin, ve jmenovateli rozdíl 4. odmocnin. na obojí se aplikuje tradiční vzoreček a členy (x-7) by se měly vykrátit a zbyde nějakej hnus s mocninama a odmocninama, kterej se vyčíslí

mancini · 21. 07. 2013 14:47

↑ Stýv:

Jo má tam být minus, sry #FP.

To jsem samo zkoušel a právě mi tam zbylo tolik bordelu a hnusu, že se mi z toho protáčej paneky. No alespoň vím, že na to jdu správně...

Dík

mancini · 21. 07. 2013 14:56

↑ Stýv:

BTW, hned navazující příklad má v čitateli čtvtou a třetí odmocninu - a z představy rozkládání toho hnusu na dvanáctý odmocniny se mi dělá nevolno, tak jsem trochu doufal, že v tom může bejt ještě něco navíc, teda kromě tradičního vzorečku.

Kterej BTW předpokládám, že je:

$(\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b})\cdot(\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}b}+...+\sqrt[n]{ab^{n-2}}+\sqrt[n]{b^{n-1}})=a-b$

mancini · 21. 07. 2013 15:39

↑ Stýv:

uff - vyřešeno...

Nedařilo se mi za boha vytknout v čitateli $x-7$ , abych to mohl vykrátit, tak mě napadlo to tím výrazem vydělit a překvapivě to nemělo zbytek. Hmm, triviální ... ale po hodině a půl. Ach jo.

Stýv · 21. 07. 2013 15:43

mancini napsal(a):
překvapivě to nemělo zbytek

to by tě překvapit nemělo, když jsi jistě věděl, že sedmička je kořenem toho polynomu

mancini · 21. 07. 2013 16:30

↑ Stýv:

Jako věděl ... kdyby nebyl ten čitatel po rozšíření dělitelnej (x-7), tak to asi bude dost blbě řešitelný, no. Ale prostě jsem nejdřív nějak doufal, že to vypadne z toho odmocninovýho bordelu. Pak toho bordelu bylo tolik, že jsem si začal říkat, že musí existovat nějaký elegantnější řešení. No a navíc moje klasika, při tolika číslech, který musím furt opisovat, nasekám hafo chyb jen tím, že nedávám pozor na to, co píšu a opisuju kraviny.

njn, startovat mozek na matiku po několika letech holt bolí :-P

Rumburak · 22. 07. 2013 09:52

↑ mancini:

Ahoj.

Jiný postup:

Substitucí $x = 7 + h$ a cílevědomou úpravou dostáváme

$\lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2} = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{9+h}-\sqrt[3]{27+h}}{\sqrt[4]{16 + h}-2} = \\= \lim_{h\to 0} \frac {h}{(16+h)^{\frac{1}{4}} -16^{\frac{1}{4}}} $\frac{(9+h)^{\frac{1}{2}} -9^{\frac{1}{2}}}{h} - \frac{(27+h)^{\frac{1}{3}} -27^{\frac{1}{3}}}{h}$$ .

Nyní můžeme využít definici derivace a znalost jejího výsledku pro funkci $f(t) = t^a$ .

Matematické Fórum

#1 21. 07. 2013 14:36

limity s odmocninami - Děmidovič

#2 21. 07. 2013 14:43

Re: limity s odmocninami - Děmidovič

#3 21. 07. 2013 14:47

Re: limity s odmocninami - Děmidovič

#4 21. 07. 2013 14:56

Re: limity s odmocninami - Děmidovič

#5 21. 07. 2013 15:39

Re: limity s odmocninami - Děmidovič

#6 21. 07. 2013 15:43

Re: limity s odmocninami - Děmidovič

mancini napsal(a):

#7 21. 07. 2013 16:30

Re: limity s odmocninami - Děmidovič

#8 22. 07. 2013 09:52

Re: limity s odmocninami - Děmidovič

Zápatí