Matematické Fórum

kexixex · 25. 07. 2013 22:59

↑↑ martisek:
No nevim jak moc tupe ani ktery tri stranky. Kazdopadne pouzivat vetu, jejimz predpokladem je vysledek prikladu, neni moc logicka cesta k vysledku...

Sla by pouzit tato veta, ale to je trochu dal teoreticky (aneb museli bychom tupe opsat par kapitol ze skript)..

Bati · 25. 07. 2013 23:07

Bez ověření předpokladů je ta věta k ničemu, neboť jak jsem se snažil ukázat existují limity, kde to takto nefunguje.

martisek napsal(a):
↑↑ Bati:

Počítáš-li s hodnotou x=0 ve výrazu

$\lim_{x\to0+} \text{arctg}\:nx$

musíš s ní počítat i v $\lim_{n\to\infty}\text{arctg}\:nx$ .

To je přece hloupost, nikde nepočítám s hodnotou x=0, pouze počítám limitu pro x>0. Je mi jedno že samotná limita vyjde nula. Můžeme to dořešit pomocí zpráv, ať to tu nezahlcujeme.

martisek · 25. 07. 2013 23:20

↑↑ Tomas5:

Já si zase dost dobře nedovedu představit ty Taylorovy řady - umocňovat Taylorovu řadu na nekonečné číslo udělat z toho arccos a začít to integrovat? Nevím, nevím.

Co jste nebrali?

1. Funkce arctg, arccos asi ano, když je máš integrovat.
2. $x\in <-1;1> \Rightarrow 0\le |arctg x| < 1$ tím pádem taktéž.
3. $0\le c <1; \alpha \rightarrow \infty \Rightarrow c^{\alpha}\rightarrow 0$ znáš nejpozději ze střední
4. arccos 0 = pi/2 taky znáš.

Nic víc nepotřebuješ...

Brano · 25. 07. 2013 23:38 — Editoval Brano (26. 07. 2013 00:02)

↑↑ martisek:

martisek napsal(a):
U limit integrálů, pokud existují, je totiž úplně jedno, zda "zvenku" zjemňuješ dělení a "venvitř" zvedáš alfa (první limita), nebo naopak "zvenku" zvedáš alfa a "venvitř" zjemňuješ dělení (druhá limita), anebo to zcela libovolně kombinuješ (třetí limia).

tak to teda vobec nie je jedno

urcite sa vo vseobecnosti neda prehodit limita a integral, to je myslim druhacke ucivo
napr.:
$f_n(x)=\begin{cases}n^2x& x\in[0,1/n]\\2n-n^2x& x\in[1/n,2/n]\\0&\text{inak}\end{cases}$
$f_n(x)\to 0$ pre $n\to\infty$ na celom $R$
$\int_0^2f_n(x)dx=1$ pre vsetky $n\ge 1$
$\int_0^20dx=0$
a zrejme $0\not=1$

ale v zadanom priklade to ide kvoli tomu, ze podintegralne funkcie konverguju rovnomerne na ohranicenom intervale - co je uz postacujuca podmienka

martisek · 26. 07. 2013 01:26

↑ Bati:

To, že zrovna ty ty předpoklady neznáš, ještě neznamená, že nejsou ověřené

↑ Brano:

U limit integrálů, pokud existují, je totiž úplně jedno,.... tak to teda vobec nie je jedno

OK, úplně jedno to není, ale to jsem psal pro ↑ Bati: , který zřejmě nezná konvergenci ani bodovou, natož stejnoměrnou. A primárně je to úloha, kterou dostal prvák, takže jsem se do funkčních posloupností nechtěl pouštět vůbec. Ale dotlačili jste mě k tomu, zřejmě frustrovaní z toho, že nemusím integrovat nekonečné mocniny nekonečných řad, jak tam kdosi navrhoval, ale stačí mi jeden řádek na zintegrování konstanty.

Takže prosím - kdo to nezná, ať si někde nalistuje, jak se na uzavřeném intervalu integruje stejnoměrně konvergentní posloupnost funkcí (na technice se to dělá ve druháku) a tím bych to uzavřel.

PS: omlouvám se ↑↑ Tomas5: , který asi vůbec nechápe, o co se tu hádáme, a doporučuji mu, udělat to tak, jak jsem navrhoval zde: ↑ martisek:.

Brano · 26. 07. 2013 11:10

↑↑ Bati:
tento priklad je az na spominany preklep samozrejme spravne
mozno este jednoduchsi priklad len prirodzenymi cislami v indexoch je
$a_{mn}=\frac{m}{n+m}$

len by som poznamenal, ze aj pre dvojnasobne limity je casto najjednoduchsia postacujuca podmienka na prehodenie poradia prave rovnomerna konvergencia

Bati · 26. 07. 2013 11:41 — Editoval Bati (26. 07. 2013 11:41)

↑ martisek:

martisek napsal(a):
↑ Bati:
To, že zrovna ty ty předpoklady neznáš, ještě neznamená, že nejsou ověřené

martisek napsal(a):
↑ Brano:
OK, úplně jedno to není, ale to jsem psal pro ↑ Bati: , který zřejmě nezná konvergenci ani bodovou, natož stejnoměrnou.

Takovéhle debilní poznámky asi nemusím komentovat.

Jediné, co jsem chtěl bylo, abys pochopil můj protipříklad s limitami. Jenže tys nenapsal ani to, že mám pravdu, ani jsi nenapsal žádný rozumný důvod (až na můj překlep), proč by to mělo být špatně. Místo toho jsi začal vznášet nějaké irelevantní poznámky, konče tvým posledním příspěvkem. Takže si to musím vysvětlit tak, že jsi ten můj příklad prostě pochopit nechtěl, a v tom případě nemá žádný smysl se s tebou o tom dál bavit.

Rumburak · 26. 07. 2013 11:44

Ahoj.
nevím, komu tento příspěvek adresovat dříve . Pro záměnu pořadí limity a integrálu je podle mne dostatečným zdůvodněním,
že se integruje přes omezený interval a konvergence integrandu je monotonní, což se ve druhém semestru na MFF, myslím, probírá.

Tomas5 · 26. 07. 2013 13:40 — Editoval Tomas5 (26. 07. 2013 13:45)

Měl bych použít jenom Riemannův integrál, nevlastní integrál a srovnávací kritérium konvergence řady.

V zadání zní, dokažte že to konverguje a ve výsledcích je výsledek pi.

Když potřebuju zjistit pouze jestli integrál konverguje nebo diverguje stačí použít srovnávací kritérium?

kexixex · 26. 07. 2013 13:56

↑ martisek:

takže jsem se do funkčních posloupností nechtěl pouštět vůbec.

Jsi prvni kdo je zde zminil v #11.

...zřejmě frustrovaní z toho, že nemusím...

To ma byt vtip? Frustrovany jsem mozna z toho, ze ucitel matiky nechape, ze kdyz pouziva vetu, musi vedet jakou (ne tuhle ↑↑ martisek:) a musi overit predpoklady a jeste si stoji za tim, ze to tak neni. (navic na MFF nepovazuji postup za spravny, pokud tam ty predpoklady overene nejsou)

↑ Tomas5:

Ano, staci srovnavaci kriterium. Mozna jednodussi je rict, ze spojita a omezena funkce na uzavrenem intervalu ma R-integral (tj. integral konverguje)..

Tomas5 · 26. 07. 2013 15:44

Platí na intervalu $x \in (-1,1)$ tato nerovnost ${arccos(arctg x)^\alpha \le arccos(x)\alpha}, kde \space \alpha \in [1,\infty )$ ?

martisek · 26. 07. 2013 15:56

↑ Tomas5:

Ano - a je to přesně to, co, jsem psal v ↑ martisek: stačí to jenom trochu zformalizovat.

martisek · 26. 07. 2013 16:06

↑ kexixex:

Nejsem první, kdo zde zmínil funkční posloupnosti. Posloupnost funkcí je obsažena už v zadání příkladu.

ucitel matiky nechape, ze kdyz pouziva vetu, musi vedet jakou.

Mě zase děsí lidi, kteří si myslí, že každý příklad a problém je možné zdůvodňovat jedním jediným způsobem. Korektní postup, který jsem tady vypálil, lze zdůvodnit jak přehazováním limit, tak srovnávacím kriteriem (tak, jak to chce ↑ Tomas5:) stejnoměrnou konvergencí, monotónní konvergencí, a třeba i Léviho větou. Záleží jenom na tom, jak je kdo vysoko. Já jsem vzal první dva a ty z toho děláš oheň na střeše.

PS: Do další diskuse na toto téma taky nemám chuť.

jelena · 27. 07. 2013 00:52

kolega Rumburak napsal(a):
nevím, komu tento příspěvek adresovat dříve

Adresuji všem v tématu (a případně i dalším, kdo se do tématu zapojí).

Zde zrovna probíhá debata o rozdělení sekce VŠ na pokročilejší a méně pokročilou a hledají se vhodné popisky - tak to vaše téma bych navrhla do úvodu, jak to vypadat nemá (komentáře o nechápavosti, o frustraci z neznalosti, o debilitě poznámek atd. + pokud využíváte informací z profilu kolegy (že je učitel), tak si, prosím, profily doplňte také - ať jste "fifty-fifty" (c)).

Můj návrh:

a) autor tématu Tomas5 doplní, odkud je úloha a na které probrané (i samostudiem předpokládané) látky navazuje,

b) pokud už kolega Tomas5 má jasno (nebo i nezcela jasné), poprosím ho, aby zde umístil svůj postup ke komentování,

c) pokud někdo z debatujících má zájem, může si založit vlastní téma s kompletním řešením a tak poskytl prostor k debatě nad každým jednotlivým návrhem (v tomto tématu se už vyznat nedá), můžete využit i MatWiki

d) můžete můj příspěvek brát jako laskavý Moderátorský zásah, nebo jako pohled tety odvedle a klidně navrhnete něco smysluplného, co povede ke zdárnému závěru.

"A uvažte, že budou Vánoce" (c) (jednou, bez toho horka a se sněhem) :-)

Tomas5 · 28. 07. 2013 10:18

jelena napsal(a):
Adresuji všem v tématu (a případně i dalším, kdo se do tématu zapojí).

Můj návrh:

a) autor tématu Tomas5 doplní, odkud je úloha a na které probrané (i samostudiem předpokládané) látky navazuje,

b) pokud už kolega Tomas5 má jasno (nebo i nezcela jasné), poprosím ho, aby zde umístil svůj postup ke komentování,

c) pokud někdo z debatujících má zájem, může si založit vlastní téma s kompletním řešením a tak poskytl prostor k debatě nad každým jednotlivým návrhem (v tomto tématu se už vyznat nedá), můžete využit i MatWiki

d) můžete můj příspěvek brát jako laskavý Moderátorský zásah, nebo jako pohled tety odvedle a klidně navrhnete něco smysluplného, co povede ke zdárnému závěru.

a) Chtěl jsem toto téma už zavřít (příspěvky kolegů pomohly), ale čekal jsem, že ještě někdo přispěje.
b) Integrál koverguje, protože konverguje $\int_{-1}^{1}(arccos x)^\alpha dx$

Za svoje poznámky se kolegům omlouvám a děkuji za odpovědi.

Se založením nového tématu pro tento příklad (v případě zájmu zkušenějších kolegů) souhlasím (nejen u tohoto příkladu) a toto téma uzavřu.

jelena · 29. 07. 2013 00:35

Tomas5 napsal(a):
Za svoje poznámky se kolegům omlouvám

Zde bych žádný důvod k omluvě neviděla, ani ze strany kolegů není důvod, spíš takové lehké narovnání komunikace.

Pěkných a podnětných dotazů zde moc na fóru není a tak je celkem reálné, že složitější dotaz se půjde diskutovat např. tam (což je určitě přínosné, ale ochuzujeme se tak o podporu a příležitost vidět české a slovenské matematické vyjadřování). Proto mne osobně udivilo, že místo pěkné debaty vzniklo MŠ přetahování "kdo co začal jako první apod.". Věřím, že kolegové změní názor a téma pěkně dovrší.

ještě pár dotazu k problému:

a) úplně na úvod

$\space , kde {\space\alpha \ge 1, \alpha \setminus \{\infty \}}\space ,\alpha \in \mathbb{R}$

co znamená: $\alpha \setminus \{\infty \}$ ?

b) v příspěvku ↑ 36: nemá být $\alpha$ v exponentu (napravo v nerovnosti).

Děkuji a ještě počkám(e) na vyjádření kolegů. Označit za vyřešené můžeme vždy. Zdravím.

Tomas5 · 29. 07. 2013 19:24

jelena napsal(a):
Tomas5 napsal(a):
Za svoje poznámky se kolegům omlouvám
Zde bych žádný důvod k omluvě neviděla, ani ze strany kolegů není důvod, spíš takové lehké narovnání komunikace.

Pěkných a podnětných dotazů zde moc na fóru není a tak je celkem reálné, že složitější dotaz se půjde diskutovat např. tam (což je určitě přínosné, ale ochuzujeme se tak o podporu a příležitost vidět české a slovenské matematické vyjadřování). Proto mne osobně udivilo, že místo pěkné debaty vzniklo MŠ přetahování "kdo co začal jako první apod.". Věřím, že kolegové změní názor a téma pěkně dovrší.

ještě pár dotazu k problému:

a) úplně na úvod
$\space , kde {\space\alpha \ge 1, \alpha \setminus \{\infty \}}\space ,\alpha \in \mathbb{R}$
co znamená: $\alpha \setminus \{\infty \}$ ?

b) v příspěvku ↑ 36: nemá být $\alpha$ v exponentu (napravo v nerovnosti).

Děkuji a ještě počkám(e) na vyjádření kolegů. Označit za vyřešené můžeme vždy. Zdravím.

a) Vyšetřovat v nekonečnu to asi nemá smysl. (limitou ?)
b)Ano, chybu mám v obou případech v (příspěvcích 36 a 40) , ale zajímavé je, že $\int_{-1}^{1}arccos x dx$ konverguje k $\pi/2$ a $\int_{-1}^{1}arccos (x^\alpha) dx$ konverguje k $\pi$ a $\int_{-1}^{1}(arccos x)^x dx$ konverguje také k $\pi/2$ .

Přeji pěkný večer.

Brano · 29. 07. 2013 20:04

preco hovorit, ze
$\int_{-1}^{1}\arccos x dx$
konverguje?

ved to nie je nevlastny integral

jelena · 30. 07. 2013 13:04

↑ Brano:

Zdravím,

já mám takový dojem, že o nevlastním integrálu mluví v celém tématu jen autor tématu a to v názvu a v příspěvku 34 :-)

↑ Tomas5:

děkuji, opět je drobný překlep úplně v posledním vzorci. A prosím Tebe - lze odkaz na vaše studijním materiály k tomuto tématu a na sadu úloh, kde se toto zadání vyskytlo? Nebo debata nebude mít konce (zdárného).

Kolega martisek laskavě umístil své řešení v samostatném tématu (děkuji velice), odkaz jsem přidala do úvodního příspěvku tématu.

Matematické Fórum

#26 25. 07. 2013 22:59

Re: Nevlastní integrál - konvergence

#27 25. 07. 2013 23:07

Re: Nevlastní integrál - konvergence

martisek napsal(a):

#28 25. 07. 2013 23:20

Re: Nevlastní integrál - konvergence

#29 25. 07. 2013 23:38 — Editoval Brano (26. 07. 2013 00:02)

Re: Nevlastní integrál - konvergence

martisek napsal(a):

#30 26. 07. 2013 01:26

Re: Nevlastní integrál - konvergence

#31 26. 07. 2013 11:10

Re: Nevlastní integrál - konvergence

#32 26. 07. 2013 11:41 — Editoval Bati (26. 07. 2013 11:41)

Re: Nevlastní integrál - konvergence

martisek napsal(a):

martisek napsal(a):

#33 26. 07. 2013 11:44

Re: Nevlastní integrál - konvergence

#34 26. 07. 2013 13:40 — Editoval Tomas5 (26. 07. 2013 13:45)

Re: Nevlastní integrál - konvergence

#35 26. 07. 2013 13:56

Re: Nevlastní integrál - konvergence

#36 26. 07. 2013 15:44

Re: Nevlastní integrál - konvergence

#37 26. 07. 2013 15:56

Re: Nevlastní integrál - konvergence

#38 26. 07. 2013 16:06

Re: Nevlastní integrál - konvergence

#39 27. 07. 2013 00:52

Re: Nevlastní integrál - konvergence

kolega Rumburak napsal(a):

#40 28. 07. 2013 10:18

Re: Nevlastní integrál - konvergence

jelena napsal(a):

#41 29. 07. 2013 00:35

Re: Nevlastní integrál - konvergence

Tomas5 napsal(a):

#42 29. 07. 2013 19:24

Re: Nevlastní integrál - konvergence

jelena napsal(a):

Tomas5 napsal(a):

#43 29. 07. 2013 20:04

Re: Nevlastní integrál - konvergence

#44 30. 07. 2013 13:04

Re: Nevlastní integrál - konvergence

Zápatí