Matematické Fórum

Ibanus · 31. 07. 2013 11:02 — Editoval Ibanus (31. 07. 2013 11:20)

Zdravím,

poradíte, jak na tuto úlohu? Vůbec nevím, jak ji vhodně vyřešit.

Načtrtněte množinu $A=\{[x,y]\in \mathbb{R}^{2};1\le x^2 + y^{2} \le 4\wedge y>x\}$ Dále pomocí substituce do vhodných souřadnic vypočítejte integrál $I=\int_{}^{}\int_{A}^{}\ln (x^{2}+y^{2})dxdy$ .

EDIT: Sice nakreslím množinu, ale lépe nevím, jak ideálně stanovit meze integtace. :-)

Díky

Stýv · 31. 07. 2013 11:48

začni tou substitucí do vhodných souřadnic, meze řeš až pak

Cheop · 31. 07. 2013 11:53

↑ Ibanus:
Ten obrázek je špatně.
Větší kruh má poloměr 2 a ne 4

Ibanus · 31. 07. 2013 13:27 — Editoval Ibanus (31. 07. 2013 13:55)

↑ Cheop:

Děkuji za připomínku. Opravil jsem si. :-)

↑ Stýv:
Tady je moje substituce na obrázku:
Jo, jen na konci integrálu jsem nenapsal $d\varrho$ a $d\varphi$
Definiční obor pro $\varphi =(\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{8})$

Jestli je to dobře, co dál? :-)

Může se počítat rovnou integrál takto: $\int_{1}^{2}\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{5\pi }{8}}\ln (\varrho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\varrho ^{2}\sin ^{2}\varphi )d\varrho d\varphi$

Díky

Jj · 31. 07. 2013 16:27

↑ Ibanus:

Pokud se nepletu, tak $\varphi =(\frac{\pi }{4};\frac{5\pi }{4})$ a integrand ve dvojném integrálu ještě musí být vynásoben absolutní hodnotou Jakobiánu transformačních rovnic souřadné soustavy (|J| = $\varrho$ ).

Pak je možno integrál spočítat.

Ibanus · 31. 07. 2013 19:31 — Editoval Ibanus (31. 07. 2013 19:32)

↑ Jj:

Tedy:
$\int_{1}^{2}\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}(\ln (\varrho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\varrho ^{2}\sin ^{2}\varphi )\cdot \varrho )d\varrho d\varphi$

Vynásobené:
$\int_{1}^{2}\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}\ln (\varrho ^{3}\cos ^{2}\varphi +\varrho ^{3}\sin ^{2}\varphi )d\varrho d\varphi$

Teď už může být integrován?

Stýv · 31. 07. 2013 19:32

↑ Ibanus: to násobení je doufám nepovedený vtip

Ibanus · 31. 07. 2013 19:35

↑ Stýv:

Já nevím. :- Jsem prošel několik skript po internetu a jak tam je substituce na polární souřadnice, tak očividně nechtěně vypouštím vtip na svůj účet pořád. :-/

Ibanus · 31. 07. 2013 19:43 — Editoval Ibanus (31. 07. 2013 19:55)

Co znamená vynásoben absolutní hodnotou Jakobiánu transformačních rovnic souřadné soustavy (|J| = $\varrho$ )?

Provedl jsem tuto úpravu:
$\int_{1}^{2}(\int_{\frac{\pi }{4} }^{\frac{5\pi }{4}}\ln (\varrho ^{2}(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi ))\cdot \varrho\cdot d\varphi )d\sigma$

Dál:
$\int_{1}^{2}(\int_{\frac{\pi }{4} }^{\frac{5\pi }{4}}\ln (\varrho ^{2}\cdot 1)\cdot \varrho\cdot d\varphi )d\sigma$

Stýv · 31. 07. 2013 21:24

↑ Ibanus: může být

Matematické Fórum

#1 31. 07. 2013 11:02 — Editoval Ibanus (31. 07. 2013 11:20)

Množina a integrál

#2 31. 07. 2013 11:48

Re: Množina a integrál

#3 31. 07. 2013 11:53

Re: Množina a integrál

#4 31. 07. 2013 13:27 — Editoval Ibanus (31. 07. 2013 13:55)

Re: Množina a integrál

#5 31. 07. 2013 16:27

Re: Množina a integrál

#6 31. 07. 2013 19:31 — Editoval Ibanus (31. 07. 2013 19:32)

Re: Množina a integrál

#7 31. 07. 2013 19:32

Re: Množina a integrál

#8 31. 07. 2013 19:35

Re: Množina a integrál

#9 31. 07. 2013 19:43 — Editoval Ibanus (31. 07. 2013 19:55)

Re: Množina a integrál

#10 31. 07. 2013 21:24

Re: Množina a integrál

Zápatí