Matematické Fórum

nanny1 · 31. 07. 2013 15:20

Dobrý den, prosím o radu s následujícím příkladem:
u = (cos xy)^xyz, mají se určit parciální derivace. Derivace vnější funkce podle x mi vychází (cos xy)^xyz * yz * ln cos (xy), pak jsem derivovala vnitřní funkci, vyšlo -sin xy * y, ale má to vyjít úplně jinak.. Kde tam prosím dělám chybu?

Formol · 31. 07. 2013 15:41 — Editoval Formol (31. 07. 2013 17:36)

↑ nanny1:
Nezapomínej, že derivuješ funkci s neznámou v základu i v exponentu. Já bych na to šel trochu jinak představil bych si, že obecně platí (tedy pozor na znaménka...):

(edit: odstranění logaritmu, který se sem dostal nepozorností)

tedy pokud hledáš derivaci nějaké hodně nešikovné funknce, můžeš ji hledat ve tvaru:

Tedy ve tvém konkrétním příkladě budeš hledat derivaci funkce ln u:

To sice na první pohled vypadá "šeredněji", ale jde o součin funkcí, který už můžeš derivovat mechanicky.

nanny1 · 31. 07. 2013 16:00

↑ Formol: Z toho upřímně nejsem moc moudrá.. :( Kde se prosím vzal ten první vztah?

Jj · 31. 07. 2013 16:58 — Editoval Jj (31. 07. 2013 17:10)

↑ nanny1:

$(\ln f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)}$ je základní vztah pro derivaci složené logaritmické funkce.

Princip využití na jednodušším příkladu

Má-li se derivovat funkce $y = x^x$ , kde neznámá je v základu i v exponentu a nelze proto užít vzorce pro derivaci funkcí $x^n \text{ nebo } a^{x}$ , je možno obě strany logaritmovat a pak jednoduše derivovat:

$\ln y = \ln x^x$
$\ln y = x\ln x$

a po derivaci obou stran (y na levé straně nutno chápat jako složenou funci /protože je funkcí x/):

$\frac{y'}{y} = 1\cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

$y' = y(\ln x + 1)=x^x(\ln x + 1)$

Pokud jsem se tedy někde nepřeklepl.

Váš příklad je jen "vícerozměrným případem" tohoto postupu.

Formol · 31. 07. 2013 17:58

↑ nanny1:
Ten první vztah byl chybně, nějak se mi do jmenovatele připletl logaritmus. Opravil jsem to a spolu s vysvětlením od Jj by už mělo být vidět řešení:-)

nanny1 · 01. 08. 2013 09:09

Hurá, mám to! :) Děkuju mnohokrát oběma, hlavně už vím, jak tenhle typ příkladů řešit a proč mi to vždycky vycházelo špatně. :D

jelena · 01. 08. 2013 11:27

↑ nanny1:

Zdravím,

jen drobné poznámky:

a) v zápisu asi chybí dostatek závorek v exponentu - má být tak: $u = (\cos (xy))^{xyz}$ (u = (cos xy)^(xyz)) nebo nějak jinak?

b) před časem okolo derivování funkce typu x^x byla rozsáhlejší debata a vznikl přehled používaných metod (zařazeno do místního folkloru :-) řekla bych, že pro Tvůj předpis funkce $u = (\cos (xy))^{xyz}=e^{xyz\cdot \ln (\cos (xy))}$ bude snad i přehlednější pro použití, ale těší, že i další kolegové zastávají logaritmickou metodu derivování. Kolegy zdravím.

OT pro kolegu Formola: chceš odstranit nesmyslné minus v reputaci, nebo si ho ponecháváš jako bojovou trofej? Děkuji :-)

Formol · 01. 08. 2013 11:43

↑ jelena:
OT: Nechávám si to jako trofej - před krb si to sice nerozprostřu, ale stejně nemám krb:-)

jelena · 01. 08. 2013 12:55

↑ Formol:

OK. požadavek na krb zkus uplatnit tam :-) Konec OT.

nanny1 · 01. 08. 2013 19:59 — Editoval nanny1 (01. 08. 2013 20:01)

↑ jelena: Děkuju za upozornění a za odkaz - studuju dálkově, takže hlavně sama a za jakoukoliv pomoc a vysvětlení jsem opravdu vděčná. :)
P.S. Předpis funkce je opravdu tak, jak jste pochopila, příště si dám pozor na závorky...

Matematické Fórum

#1 31. 07. 2013 15:20

Parciální derivace tří proměnných

#2 31. 07. 2013 15:41 — Editoval Formol (31. 07. 2013 17:36)

Re: Parciální derivace tří proměnných

#3 31. 07. 2013 16:00

Re: Parciální derivace tří proměnných

#4 31. 07. 2013 16:58 — Editoval Jj (31. 07. 2013 17:10)

Re: Parciální derivace tří proměnných

#5 31. 07. 2013 17:58

Re: Parciální derivace tří proměnných

#6 01. 08. 2013 09:09

Re: Parciální derivace tří proměnných

#7 01. 08. 2013 11:27

Re: Parciální derivace tří proměnných

#8 01. 08. 2013 11:43

Re: Parciální derivace tří proměnných

#9 01. 08. 2013 12:55

Re: Parciální derivace tří proměnných

#10 01. 08. 2013 19:59 — Editoval nanny1 (01. 08. 2013 20:01)

Re: Parciální derivace tří proměnných

Zápatí