Matematické Fórum

Optix · 26. 05. 2013 20:28 — Editoval Optix (26. 05. 2013 22:51)

Ahoj, narazil jsem na takový příklad se kterým si moc nevím rady pomůže někdo? :
Ke kontrole je připraveno 200 výrobků, mezi nimi je 8 vadných. Ostatní jsou vyhovující. Namátkou vyberem kontrolor 20 výrobků, z nichž je prvních 5 kvalitních. Jaká je pravděpodobnost, že také šestý vybraný výrobek je vyhovující?

Nevím jestli na to jdu správně ale nešlo by to třeba nějak přes doplňkovou pravděpodobnost s tím že všech možností vybrání si těch vadných je ${200 \choose 5}$ a já se ptám na jenom jeden prvek tedy na šestém místě pak je tedy výsledná pst rovna $\frac{1}{ {200 \choose 5 }}$ ??? ale to mi vychází na moc velké číslo, je to možné?

Budu vděčný za každou radu, předem děkuji!!! :)

Jj · 26. 05. 2013 23:05 — Editoval Jj (26. 05. 2013 23:06)

↑ Optix:

Toto
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=31956
napovídá, že hledaná pravděpodobnost bude spíše 187/195,

kde 187 = 192 kvalitních celkem - prvních 5 vybraných kvalitních
195 = 200 celkem - 5 prvních vybraných

marnes · 26. 05. 2013 23:29

↑ Jj:
Soukromá otázka, možná to moc komplikuji a moc přemýšlím. Má první odpověď byla stejná 187/195, ale pak jsem začal přemýšlet o tom, že ten kontrolor vybral 20 výrobků a já se ptám na to, že bude ten 6-tý z těch 20-ti vybraný dobrý???

bejf · 26. 05. 2013 23:37

↑ marnes:
Pokud mohu vstoupit. Podle mě je zadání trochu matoucí, když říká, že kontrolor vybral namátkou 20 výrobků. To třeba svádí ke kombinaci ${200 \choose 20}$ nebo po odečtení těch pěti ke kombinaci ${195 \choose 15}$ .
Ale dle mého se zadání opravdu ptá pouze na ten šestý výrobek v pořadí, zda je bez závady. Takže to chápeme, zdá se, všichni tři stejně.

marnes · 26. 05. 2013 23:45

↑ bejf:
Pak nevím, proč je tam psané, že kontrolor vybral 20. To je buď matoucí nebo zbytečné??
Kdyby bylo že vybírá 20, tak už bych jednoznačně napsal 187/195, ale stále ta 20-tka je tam jaksi navíc.
Třeba někdo objasní

nejsem_tonda · 27. 05. 2013 00:21

↑ marnes:
Zdravim,

Pak nevím, proč je tam psané, že kontrolor vybral 20. To je buď matoucí nebo zbytečné??

Hadal bych, ze je to zamerne matouci. Podle me jde o to, aby ti, kteri resi ulohy "nahodnymi" operacemi s cisly v zadani, neuspeli.

Jeste by mohla byt motivace ke zpusobu zadani takova, ze jde o popis "realne" situace a otazku "z praxe".

Mimochodem exaktne vzato je problem trosku komplikovanejsi. Meli bychom opravdu vzit do uvahy, ze bylo vybrano 20 vyrobku a pocitat pravdepodobnost, ze sesty bude vyhovujici za podminky, ze prvnich pet bylo vyhovujicich. Jde tedy o podminenou pravdepodobnost.
Nakonec ale neni treba ulohu komplikovat, protoze prirozene uvahy vedou k tomu, ze pocitat prislusnou podminenou pravdepodobnost je totez jako pocitat "normalni" pravdepodobnost, ze po odebrani peti vyhovujicich vyrobku bude dalsi vybrany take vyhovujici.

Optix · 27. 05. 2013 07:21

Děkuji všem za reakce, asi to tak bude, ale v té učebnici, ze které jsem příklad vzal je napsána výsledná pst $0,964$ což je nepatrně vyšší než vyjde 187/195, mozna jde pouze o rozdíl u zaokrouhlovaní ale spíš si myslím že je nutné vzít v úvahu to že bylo vybráno těch 20 z 200...

Jj · 27. 05. 2013 08:38

↑ marnes:

Já jsem se nejdříve trochu zamotal při zvažování těch 20-ti tažených výrobků, pak jsem teprve našel starší vlákno zde na webu, kde radil kolega Stýv k témuž příkladu a jeho návod vedl ke 187/195. Chvílemi jsem o tom od včerejška taky trochu přemýšlel a myslím, že půjde o správný výsledek (i když musím příznat, že mé omyly v podobných úvahách jsou někdy velmi podivné a zvláštní).

Arabela

Ahoj ↑ Optix:↑ Jj:,
ja sa domnievam, že výsledok v učebnici je chybný. Vedie ma k tomu takáto úvaha: Keď ignorujeme akciu s 20 výrobkami, tak pravdepodobnosť toho, že po piatich ťahaných dobrých výrobkoch bude aj šiesty dobrý, je $\frac{187}{195}\doteq 0,9589$ (na tom sa snáď všetci zhodneme). To je pravdepodobnosť, že v tej "záľahe" dobrých výrobkov naďabíme opäť na dobrý. Kontrolór ale vybral 20 výrobkov, a ako sa ukázalo, prvých 5 bolo dobrých. "Cítim v kostiach", že touto akciou sa pravdepodobnosť ťahania šiesteho dobrého výrobku nepatrne zmenšila (určite nezväčšila! - čo uvádza učebnica)...
Urobila som istý výpočet (rozobratím deviatich možností, ktoré podľa mňa môžu nastať), a pravdepodobnosť mi vyšla približne $0,946$ . Preto sa domnievam, že v knihe je tlačová chyba, že namiesto 0,964 má byť 0,946...

Arabela

Ahoj ↑ marnes:,
mne tiež ten výber 20 výrobkov vŕta hlavou. Čo by si povedal na takúto úvahu?
Po výbere 20 výrobkov môže nastať týchto 9 možností:
1. medzi vybratými výrobkami nie je ani jeden chybný
2. medzi vybratými výrobkami je práve 1 chybný
3. medzi vybratými výrobkami sú práve 2 chybné
........
9. medzi vybratými výrobkami je práve 8 chybných.
Vypočítajme ich pravdepodobnosti:
$P(A_{0})=\frac{{192\choose 20}}{{200\choose 20}}\doteq 0,42364361$
$P(A_{1})=\frac{{8\choose 1}{192\choose 19}}{{200\choose 20}}\doteq 0,3918091$
$P(A_{2})=\frac{{8\choose 2}{192\choose 18}}{{200\choose 20}}\doteq 0,1497414$
$P(A_{3})=\frac{{8\choose 3}{192\choose 17}}{{200\choose 20}}\doteq 0,0308043$
$P(A_{4})=\frac{{8\choose 4}{192\choose 16}}{{200\choose 20}}\doteq 0,0037192$
$P(A_{5})=\frac{{8\choose 5}{192\choose 15}}{{200\choose 20}}\doteq 0,0002689$
$P(A_{6})=\frac{{8\choose 6}{192\choose 14}}{{200\choose 20}}\doteq 0,0000113$
$P(A_{7})=\frac{{8\choose 7}{192\choose 13}}{{200\choose 20}}\doteq 0,0000002$
$P(A_{8})=\frac{{8\choose 8}{192\choose 12}}{{200\choose 20}}\doteq 0,000000002$
No a pravdepodobnosť nami sledovaného javu je daná súčtom pravdepodobností, že
vo vytiahnutej dvadsatici nie je žiaden chybný výrobok a súčasne po vytiahnutí piatich dobrých výrobkov z dvadsatice ďalší ťahaný bude opäť dobrý,
alebo že
vo vytiahnutej dvadsatici je práve jeden chybný výrobok a súčasne po vytiahnutí piatich dobrých výrobkov z dvadsatice ďalší ťahaný bude opäť dobrý,
alebo že
vo vytiahnutej dvadsatici sú práve dva chybné výrobky a súčasne po vytiahnutí piatich dobrých výrobkov z dvadsatice ďalší ťahaný bude opäť dobrý,
atď.,
až že
vo vytiahnutej dvadsatici je práve osem chybných výrobkov a súčasne po vytiahnutí piatich dobrých výrobkov z dvadsatice ďalší ťahaný bude opäť dobrý.
Takže hľadaná pravdepodobnosť

$P(A)=P(A_{0}).\frac{15}{15}+P(A_{1}).\frac{14}{15}+P(A_{2}) .\frac{13}{15}+...+P(A_{8}).\frac{7}{15}\doteq 0,946$

marnes · 27. 05. 2013 11:24

↑ Arabela:
Úvaze rozumím ( hezky vysvětlené ), oponovat ji nemohu, jelikož vlastní nemám a sám bych ji nevytvořil. Takže pokud nepřijde někdo jiný s vysvětlením, tak s tebou souhlasím.

Arabela · 27. 05. 2013 11:34

↑ marnes:
ďakujem...:) Počkajme si teda na ďalší názor...

Optix · 27. 05. 2013 13:34

Úžasné!!! Moc děkuju za pomoc, téma nechám ještě chvíli otevřené, kdyby měl někdo ten další názor ;))

nejsem_tonda

↑ Arabela:
Domnivam se, ze to tak neni. Abych ukazal, proc jsem jineho nazoru, bude se mi nejdriv hodit resit chvili jine zadani:

Predpokladejme, ze kontrolor vybira jen 2 vyrobky, pricemz o prvnim vime, ze byl v poradku. Jaka je pravdepodobnost, ze druhy je v poradku?

Kdybychom ulohu resili tak jako Arabela, tak v pripade, ze

* kontrolor vybere 2 vyrobky, ktere jsou v poradku, a prvni vyrobek je v poradku, bude v poradku i druhy
* kontrolor vybere 1 vyrobek v poradku a 1 spatny, prvni vyrobek bude v poradku, tak druhy bude spatny (tj. bude v poradku s pravdepodobnosti 0)
* kontrolor vybere 0 vyrobku v poradku a 2 spatne, pak prvni ani nemuze byt v poradku (tj. druhy je v poradku s pravdepodobnosti 0)

Celkem tedy dostaneme $\frac{{192\choose2}}{{200\choose2}}=\frac{192\cdot191}{200\cdot199}$ . To je ta sama pravdepodobnost, jako kdybychom se ptali:

Jaka je pravdepodobnost, ze vylosujeme za sebou dva vyrobky, ktere budou v poradku (vytazeny vyrobek dame stranou)?

To by melo ukazovat, ze vypocet v principu neni v poradku, protoze pravdepodobnost vytazeni dvou vyrobku, ktere jsou v poradku, za sebou, je urcite mensi nez pravdepodobnost vytazeni druheho vyrobku v poradku, kdyz uz vime, ze prvni vytazeny vyrobek byl v poradku.

Dale jsem se pokousel rict, ktera cast vypoctu pocitala neco jineho, nez chceme, ale moje argumenty nebyly spravne.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Mimochodem Arabelin vysledek je presne 71/75 = priblizne 0,947 (misto 0,946). To trochu snizuje pravdepodobnost tiskove chyby v ucebnici. Kazdopadne vysledek v ucebnici je nespravny. Ucebnicim se bohuzel da verit jen omezene.

Arabela

↑ Jj:↑ bejf:↑ Optix:↑ marnes:↑ nejsem_tonda:
Zdravím. Po príspevku kolegu nejsemtonda som bola trochu zmätená. Skritizoval moje riešenie, v ktorom som sa chcela "silou mocou" dopracovať k učebnicovému výsledku (ako sa napokon ukázalo, chybnému), pričom čiastočne som s ním musela súhlasiť (jeho príklad s dvomi vyberanými výrobkami, ktorým argumentoval), a čiastočne som jeho argumenty neprijímala (písal o usporiadaných dvadsaticiach, a ja som predsa pracovala s neusporiadanými, naraz vybratými výrobkami, ktoré sa až potom neskôr začali v istom poradí preverovať!)... Keďže mám rada vo veciach jasno, a aj kvôli ostatným riešiteľom, ktorí sú na tom podobne, som sa nakoniec obrátila na svojho bývalého študenta, bývalého vynikajúceho olympionika, ktorý v súčasnosti pôsobí v USA.
Tu je jeho názor:
"Podla zadania prvych 5 nahodne vybranych vyrobkov bolo vyhovujucich. Nasledujuci, siesty, nahodne vybrany vyrobok bol vybrany s rovnakou pravdepodobnostou zo zostavajucich 195 vyrobkov, z ktorych 8 bolo nevyhovujucich. Teda pravdepodobnost, ze siesty vybraty vyrobok je vyhovujuci je 1 - ( 8/195).

Takze vobec nezalezi na tom, ktore vyrobky boli vybrane po prvych siestich vyrobkoch.

Jedine ine pochopenie problemu ktore ma napada je, ze 20 vyrobkov bolo vybranych naraz. Teda napriklad ze pocitac nahodne vybral 20-prvkovu podmnozinu mnoziny {1,...200}. Ale priklad jasne spomina "prvych 5...", takze vyrobky boli vybrane v istom poradi, nie vsetky naraz."

Prikláňam sa teda k tomuto riešeniu, ktoré pokladám za správne. Pomýlil ma (a asi aj ostatných riešiteľov) nejednoznačne formulovaný text úlohy a chybný výsledok, ktorý uvádzala učebnica.
Ospravedlňujem sa všetkým, ktorých snáď moje riešenie pomýlilo, a najmä kolegovi nejsemtonda, ktorý si dal veľkú námahu, aby moje riešenie vyvrátil.
Berme to ako také malé dobrodružstvo v myslení, ktoré nám bolo dopriate...:)
Ešte raz zdravím všetkých! ...:)

nejsem_tonda · 01. 06. 2013 18:42

Zdravim,
predne s Arabelou sdilim radost z toho "dobrodruzstvi v mysleni", ktere nam bylo doprano :)

Mam ale pocit, ze jsou jeste urcita zakouti ulohy, ktera nejsou uplne prosvetlena.

...a čiastočne som jeho argumenty neprijímala (písal o usporiadaných dvadsaticiach, a ja som predsa pracovala s neusporiadanými, naraz vybratými výrobkami, ktoré sa až potom neskôr začali v istom poradí preverovať!)

Tomu rozumim, takove argumenty nejsou totiz spravne. Ono se to nezda, ale je fakt tezke rict, co vlastne pocitame jinak, nez chceme. Zkusim to jinak, ale predtim jeste zareaguju na toto:

Pomýlil ma (a asi aj ostatných riešiteľov) nejednoznačne formulovaný text úlohy a chybný výsledok, ktorý uvádzala učebnica.

Ja si nemyslim, ze by uloha byla nejednoznacne formulovana. Nezalezi totiz, jestli ulohu budeme chapat tak, ze kontrolor vybere jeden vyrobek, urci kvalitu, vybere druhy vyrobek, urci kvalitu, atd.; nebo jestli ulohu budeme chapat tak, ze pocitac nahodne zvoli dvacetici z mnoziny {1,...,200} a vybrane vyrobky potom kontrolol zacne (treba) jeden po druhem vkladat do stroje, jenz urcuje kvalitu.

S Arabelinym byvalym studentem tedy nesouhlasim v drobnem detailu, ze by slo o jine pochopeni problemu.

Nakonec druhy pokus o to, co Arabelin postup pocita jinak, nez bychom si prali.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Arabela · 02. 06. 2013 17:17

↑ nejsem_tonda:
"Nezalezi totiz, jestli ulohu budeme chapat tak, ze kontrolor vybere jeden vyrobek, urci kvalitu, vybere druhy vyrobek, urci kvalitu, atd.; nebo jestli ulohu budeme chapat tak, ze pocitac nahodne zvoli dvacetici z mnoziny {1,...,200} a vybrane vyrobky potom kontrolol zacne (treba) jeden po druhem vkladat do stroje, jenz urcuje kvalitu."
Odkiaľ vieš, že na tom nezáleží? Veď si sa pri tom druhom chápaní nepokúsil o žiaden výpočet...

nejsem_tonda · 30. 07. 2013 08:14

↑ Arabela:

"Nezalezi totiz, jestli ulohu budeme chapat tak, ze kontrolor vybere jeden vyrobek, urci kvalitu, vybere druhy vyrobek, urci kvalitu, atd.; nebo jestli ulohu budeme chapat tak, ze pocitac nahodne zvoli dvacetici z mnoziny {1,...,200} a vybrane vyrobky potom kontrolol zacne (treba) jeden po druhem vkladat do stroje, jenz urcuje kvalitu."
Odkiaľ vieš, že na tom nezáleží? Veď si sa pri tom druhom chápaní nepokúsil o žiaden výpočet...

No ja si myslim, ze na tom nezalezi proto, ze v pripade, ze po kazdem vybranem vyrobku urci kvalitu, se nezmeni zpusob vybirani dalsiho vyrobku - bude zcela nahodny at urceni kvality dopadlo jakkoliv.

Troufam si proto bez jakehokoliv vypoctu tvrdit, ze nezalezi na tom, zda po kazdem vyberu dojde k urceni kvality, nebo zda se nejdrive vybere mnozina dvaceti cisel a potom se vyrobky budou jeden po druhem kontrolovat.

Arabela · 01. 08. 2013 20:31

↑ nejsem_tonda:
OK, toto znie naozaj rozumne...

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2013 20:28 — Editoval Optix (26. 05. 2013 22:51)

Pravděpodobnost

#2 26. 05. 2013 23:05 — Editoval Jj (26. 05. 2013 23:06)

Re: Pravděpodobnost

#3 26. 05. 2013 23:29

Re: Pravděpodobnost

#4 26. 05. 2013 23:37

Re: Pravděpodobnost

#5 26. 05. 2013 23:45

Re: Pravděpodobnost

#6 27. 05. 2013 00:21

Re: Pravděpodobnost

#7 27. 05. 2013 07:21

Re: Pravděpodobnost

#8 27. 05. 2013 08:38

Re: Pravděpodobnost

#9 27. 05. 2013 10:13 — Editoval Arabela (27. 05. 2013 10:27)

Re: Pravděpodobnost

#10 27. 05. 2013 11:16 — Editoval Arabela (02. 06. 2013 15:03)

Re: Pravděpodobnost

#11 27. 05. 2013 11:24

Re: Pravděpodobnost

#12 27. 05. 2013 11:34

Re: Pravděpodobnost

#13 27. 05. 2013 13:34

Re: Pravděpodobnost

#14 27. 05. 2013 20:42 — Editoval nejsem_tonda (01. 06. 2013 17:52)

Re: Pravděpodobnost

#15 31. 05. 2013 08:33 — Editoval Arabela (31. 05. 2013 08:44)

Re: Pravděpodobnost

#16 01. 06. 2013 18:42

Re: Pravděpodobnost

#17 02. 06. 2013 17:17

Re: Pravděpodobnost

#18 30. 07. 2013 08:14

Re: Pravděpodobnost

#19 01. 08. 2013 20:31

Re: Pravděpodobnost

Zápatí