Matematické Fórum

Ahoj.

Potrebujem poradiť či na danej variete sú jednoznačne dané hladké funkcie.
Myslím si, že nie, ale rád by som to počul aj od niekoho iného.

Napríklad keď si vezmeme reálne čísla , tvoria topologickú varietu. Keď chcem na nej zaviesť hladkú štruktúru tak môžem postupovať napr. týmito dvoma spôsobmi:
1) je globálna mapa, teda vieme, že patrí do nejakého jednoznačne určeného maximálneho   hladkého atlasu A.
2) je globálna mapa, teda vieme, že patrí do nejakého jednoznačne určeného maximálneho   hladkého atlasu B.

Vieme, že tieto atlasy sú rôzne, lebo prechodové zobrazenie nie je diferencovateľné (nula).
Teda máme 2 rôzne hladké štruktúry na . Keď chcem zistiť, ktoré funkcie sú hladké na hladkej variete R, tak podľa definície:
Funkciu f nazývame hladkou ak pre každé existuje mapa z daného maximálneho hladkého atlasu, , tak, že je hladká na v zmysle štandardného kalkulu.

Funkcia je na variete s atlasom A hladká, lebo .
Funkcia nie je hladká na variete s atlasom B, lebo .

Z toho teda vyplýva, že na jednej variete môžu byť rôzne množiny hladkých funkcií, závislé od hladkého atlasu?
Veľmi sa mi to nezdá, viete kde je tam chyba?