Matematické Fórum

Polopat · 05. 08. 2013 17:48

Zdravím,
prosím o pomoc s obecným tvrzením. Ve skriptech není objasněno, takže se asi jedná o nějakou banalitu, která mi přesto uniká.

Mějme obecnou řadu $\Sigma_{n=1}^{+\infty}a_n$ . Označme $a_n^+:=\frac{|a_n|+a_n}{2}$ a $a_n^-:=\frac{|a_n|-a_n}{2}$ pro všechna přirozená n. Pak platí $a_n = a_n^+-a_n^-$ (to je mi ještě jasné). A teď:

Když původní řada konverguje absolutně, pak řada $\Sigma_{n=1}^{+\infty}a_n^+$ i řada $\Sigma_{n=1}^{+\infty}a_n^-$ konvergují.
Když původní konverguje neabsolutně, pak řada+ i řada- podstatně divergují.

Není mi jasné, proč to z toho plyne, čím ty implikace podložit.

Děkuju za případné trknutí.

Mihulik

Ahoj,
co třeba elementárně takhle:
Nechť řada $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ absolutně konverguje.
Označme $L_{1}=\lim_{m\to \infty}\sum_{n=1}^{m}a_{n}$ a $L_{2}=\lim_{m\to \infty}\sum_{n=1}^{m}|a_{n}|$
Dle předpokladu $L_{1},L_{2}\in \mathbb R$ .
Potom ale (dle aritmetiky limit) $\lim_{m\to \infty}\sum_{n=1}^{m}a_{n}^{+}=\frac{1}{2}*(L_{1}+L_{2})\in \mathbb R$ .

Druhý případ a případ, kdy řada konverguje neabsolutně, už určitě dáš dohromady:)

Polopat · 05. 08. 2013 18:20

↑ Mihulik:
Mlátím se dlaní do čela. :-) Už je mi to jasné. Moc děkuju.

Brano · 05. 08. 2013 18:20

alebo takto
$0\le a_n^+\le|a_n|$ a $0\le a_n^-\le|a_n|$
a porovnavacie kriterium.

Na to druhe tvrdenie: co dostanes ak scitas (podstatne) divergentny rad a konvergentny rad? (a potom predelis dvoma?)

Polopat · 05. 08. 2013 18:28

↑ Brano:
To je možná ještě prostší vysvětlení. Děkuju.

Mihulik · 05. 08. 2013 18:42

↑ Polopat:↑ Polopat:
To jsem rád - není zač:)
Řešení pomocí srovnávacího kritéria je samozřejmě snažší, ale když jsi to "neviděl", tak jsem to chtěl rozepsat co nejelementárněji:)

vanok · 05. 08. 2013 19:05 — Editoval vanok (05. 08. 2013 19:06)

Poznamka:
Co je uzitocne poznamenat a vediet je, ze
$a_n^+:=\frac{|a_n|+a_n}{2}=a_ n$ ak $a_n>0$
$a_n^+:=\frac{|a_n|+a_n}{2}=0$ ak $a_n \le 0$

$a_n^-:=\frac{|a_n|-a_n}{2}=0$ ak $a_n \ge 0$
$a_n^+:=\frac{|a_n|-a_n}{2}=-a_n$ ak $a<0$