Matematické Fórum

mart1nka · 10. 08. 2013 11:00

Ahoj, poraďte mi prosím, jak vyřešit tuto úlohu: Najděte množinu reálných čísel takovou, že tato množina vybavená operací a + b = a + b + ab tvoří grupu. (první "+" má být v kroužku) Za všechny tipy předem moc děkuji...

Formol · 10. 08. 2013 11:51

↑ mart1nka:
Nejlepší je upravená metoda "pokus-omyl".

Pro jednoprvkovou množinu {0} (0 je neutrální prvek, protože 0oa = 0+a+0*a = a) to jistě grupou je, ale triviální grupa je většinou nezajímavým řešením.

Takže zkusíme přidat ještě nějaké číslo, třeba "1". ale tím jsme přidali i 2, (1o1 = 2), 5 (2o1=2+1+2*1),.... Takže to je celkem "nehezké", ale cenným poznatkem je, že pokud nechceš triviální příklad, bude množina minimálně spočetná.

Takže se podíváme na inverzní prvek k a:
aob = 0
a+b+ab=0
b(1+a)=-a
b=-a/(1+a)

Tedy inverzní prvek existuje ke každému reálnému číslu s výjimkou -1.

Takže množinou by mohla být např. množina reálných čísel zmenšená o -1.
Pro klid duše je dobré ještě ukázat, že je operace na této množině uzavřená, tj. že neexistují dvě čísla a,b z R-{-1} taková, že:
aob=-1
tedy
a+b+ab=-1
tedy
a(1+b)=-(1+b)

tedy rovnost je splněna jen pokud je a nebo b rovno -1 - a to je v rozporu s předpokladem, takže operace je na množině R-{-1} uzavřená.

P.S. K úplnému řešení by bylo třeba ještě ověřitověřit asociativitu (ostatní grupové axiomy jsem testoval nebo použil k vymezení). To už je ale jen mechanická záležitost.

zdenek1 · 10. 08. 2013 11:58

↑ mart1nka:
1) najdeš neutrální prvek:
$a\oplus e=a$
$a+e+ae=a\ \Rightarrow\ e=0$

2) inverzní prvek
$a\oplus a^{-1}=e$
$a+a^{-1}+aa^{-1}=0$
$a^{-1}=-\frac{a}{1+a}$ Toto platí jen pro $a\ne-1$

3) kontrola uzavřenosti operace
Pro $a\ne-1$ , $b\ne-1$ musí platit
$a+b+ab\ne-1$
což paltí - ověř sama

4) asociativita
$a\oplus(b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus c$
levá strana $a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)$
pravaá strana $(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c$
roznásobíš a zkontroluješ, jestli se levá a pravá strana rovnají

Závěr: vhodná množina je $\mathbb R\setminus\{-1\}$