Matematické Fórum

Elune · 12. 08. 2013 13:39

Ahoj,
poradil by mi, prosím, někdo s následujícím příkladem? Vůbec si s ním nevím rady. Vím, že je třeba použít trojné integrály, ale u toho končím.

Je dána množina $\Omega = \{(x,y,z): 0\le x^{2} + y^{2}\le 4z^{2}, z\in [0,1]\}$

1) Načrtněte ji a určete její obraz v cylindrických souřadnicích.
2) Naznačte postup a určete objem.
3) Naznačte postup a určete povrch.
4) Naznačte postup a určete těžiště.

jelena · 12. 08. 2013 18:26

Zdravím,

Elune napsal(a):
Vím, že je třeba použít trojné integrály, ale u toho končím.

no v principu správně, přesně tam to končí (tedy použiješ vzorce pro výpočty). Podstatnější se mi jeví určení typu kvadriky, která vymezuje těleso - to se podařilo? A potom uvažovat, co se dá dle typu kvadriky zjednodušit ve výpočtu (všechno vypočteš jen použítím vzorců ze SŠ, ale pokud je zájem, po určení typu kvadriky můžeš převést do cylindrických souřadnic a počítat pomocí integrálů.

Tedy kvadriku jsi určil? Materiály máš? Děkuji.

Elune · 12. 08. 2013 20:16

↑ jelena:Děkuji moc za reakci. Bohužel, kvadriku určit neumím, mám jen přednášky http://home.zcu.cz/~pstehlik/m2/M2_2013_prednasky.pdf . Ale spíš by se mi hodil nějaký konkrétní příklad, kde by byl vysvětleno, jak postupovat.

jelena · 12. 08. 2013 21:07

↑ Elune:

děkuji za odkaz. Dle zadání stejně máš načrtnout zadanou množinu - možnosti jsou buď nastudovat typy kvadrik a jelikož v zadání je tabulková kvadrika, tak určit všechno dle tabulky a zakreslit. Druhá možnost pro kreslení grafu funkce více proměnných je použití metody řezů - viz studijní text. Zkus projit (a také uvažovat, která z metod se spíš očekává) Kontrolovat samozřejmě můžeš pomocí online nástrojů úvodního tématu sekce VŠ.

Až tento moment překonáš, zjistíš, že těleso je kužel s osou rotace z, rozměry kuželu již můžeš přesně určit. S touto ználosti postačí SŠ matematika.

Ovšem potřebuješ zřejmě nacvičit převod do válcových (cylindrických) souřadnic a aplikaci vicenásobného integrálu (na toto klíčové slovo si něco pohledej). Aplikace pro objem a pro fyzikální aplikaci jsou např. zde nebo tam, případně tady. Řekla bych, že užitečné může být nacvičit si nové postupy a porovnat výsledky výpočtu nalezené pomocí SŠ metod.

Pomůže to tak na alespoň zběžné zorientování? Děkuji.

Elune · 13. 08. 2013 11:43

↑ jelena:Mockrát děkuji za ochotu, teď mám alespoň zhruba představu, s čím vůbec začít a jak postupovat. Pokusím se nastudovat a dám vědět, jestli jsem pokročila.

jelena · 14. 08. 2013 13:32

↑ Elune:

také děkuji. Zkoušela jsem projít materiály katedry, jak vám garantuje výuku, ale večer web neběžel, tak nevím, zda odkaz bude funkční: http://home.zcu.cz/~tomiczek/ a materiál + materiály společného projektu ZČU a VŠB: http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/fi … _pocet.pdf Ať úspěšně pokročíš :-)

Elune · 20. 08. 2013 13:44

↑ jelena: Omlouvám se za delší odmlku z důvodu dovolené. Zjhistila jsem, že omega je kužel (postavený na svůj vrchol, který má v [0,0,0]. Ve sférických cylindrických se jedná o trojboký hranol. Co se objemu týče, tak $V = \int_{}^{}\int_{\Omega }^{}\int_{}^{} 1 dx dy dz$ ? Když dosadím meze(vycházím z cyl. souřadnic), tak $V = \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2z} 1 dx dy dz$ ?

jelena · 20. 08. 2013 19:09

↑ Elune:

zdravím po dovolené :-)

Ve sférických cylindrických se jedná o trojboký hranol.

asi jen v cylindrických, bez sférických)?

Transformace mezí mi vyšla tak: $0\leq \varphi \leq 2\pi$ to máme stejně, ale meye pro $z$ , $\rho$ odvodím z $0\le x^{2} + y^{2}\le 4z^{2}, z\in [0,1]$ , po dosazení: $0\le \rho^{2}\le 4z^{2}, z\in [0,1]$ , $\rho\geq 0$ ,
odsud $0 \leq \rho \leq 2$ , $\frac{\rho}{2}\leq z \leq1$ , potom předpis pro objem v cylindrických souřadnicích bude:

$V = \int_{0}^{2}\int_{0}^{2\pi }\int_{\frac{\rho}{2}}^{1} \rho \d \rho \d \varphi \d z$ .

Elune · 21. 08. 2013 10:11

↑ jelena:Ano, jen v cylindrických, přepsala jsem se a po opravě jsem nějak zapomněla umazat. :-) Uvádíte $0\le \rho^{2}\le 4z^{2}, z\in [0,1]$ , ale myslím, že odsud by mělo být $0 \leq \rho \leq 2z$ , nebo se pletu?

jelena · 21. 08. 2013 12:19

↑ Elune:

tento zápis:

Elune napsal(a):
Když dosadím meze(vycházím z cyl. souřadnic), tak $V = \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2z} 1 dx dy dz$

ještě není transformace do cylindrických souřadnic (nebo není dokončená - meze jen částečně, proměnné nejsou transformovány) - souhlasíš?

$0 \leq \rho \leq 2z$ ano, potom dosazuji napravo $z=1$ (protože potřebuji znát maximální hodnotu poloměru kruhu v horizontálním řezu a ten je ve výšce z=1), odsud $0 \leq \rho \leq 2$ . A ze stejného vztahu jsem vyjádřila meze pro z : $\rho^{2}\le 4z^{2}\le 1$ (také jde vyjádřit z pravoúhlého trojúhelníku ve vertikálním řezu). Dává to tak smysl? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 12. 08. 2013 13:39

Těleso - objem, povrch, těžiště

#2 12. 08. 2013 18:26

Re: Těleso - objem, povrch, těžiště

Elune napsal(a):

#3 12. 08. 2013 20:16

Re: Těleso - objem, povrch, těžiště

#4 12. 08. 2013 21:07

Re: Těleso - objem, povrch, těžiště

#5 13. 08. 2013 11:43

Re: Těleso - objem, povrch, těžiště

#6 14. 08. 2013 13:32

Re: Těleso - objem, povrch, těžiště

#7 20. 08. 2013 13:44

Re: Těleso - objem, povrch, těžiště

#8 20. 08. 2013 19:09

Re: Těleso - objem, povrch, těžiště

#9 21. 08. 2013 10:11

Re: Těleso - objem, povrch, těžiště

#10 21. 08. 2013 12:19

Re: Těleso - objem, povrch, těžiště

Elune napsal(a):

Zápatí