Matematické Fórum

Leone · 09. 12. 2007 22:05

Vedel by niekto poradi? s výpočtom ?

lnx
f(x) = x + ------
x

1, definičný obor ?
2, Vlastnos? funkcie ?
3, lokálne extrémy ?
4, asymptoty
5, odor hodnot

Ďík. Leone.

robert.marik

$D(f)=(0,\infty)$

Jaká vlastnost?

Derivace vyjde dost hnusne (teda spis rovnice ktera dava derivaci rovnu nule) - zkuste vasi funkci zadat sem

Maxima tvrdi ze derivace je $\frac{x^2+1-\ln x}{x^2}$ a tady se kořeny hledají fakt špatně :(

Marian · 10. 12. 2007 09:15 — Editoval Marian (10. 12. 2007 09:26)

Zdravim vsechny zucastnene. Jmeno Robert Mařík je samozrejme velice dobre znamo (neni-li to shodna jmen), pokud se jedna o matematiku. Muzeme se jiste tesit na velice kvalitni odpovedi. Chtel bych se vyjadrit k uloze vyse.

Extremy teto funkce neexistuji na jejim maximalnim definicnim oboru. Mela by se totiz vyresit rovnice

$\color{blue}{x^2+1-\ln x=0}.$

Pokud nejakou rovnici neumime vyresit, casto se pokousime ukazat, ze v realnem oboru zadne reseni neexistuje. Skutence je to nas pripad. Necht

$\varphi (x):=x^2+1-\ln x.$

Pak $\varphi (x)>0.$ .......................... (1)

To se dokaze napriklad tak, ze se naleznou vsechny extremy funkce $\varphi (x)$ . Pokud tam bude jediny extrem, rekneme v bode $x_0$ , a to lokalni minimum, jehoz funkcni hodnota $\varphi (x_0)$ je kladna, pak to dokazuje (1). Derivace funkce $\varphi (x)$ je snadna:

$\varphi ^{\prime}(x)=2x-\frac{1}{x}.$

Resime rovnici

$2x-\frac{1}{x}=0.$

Dostavame vzhledem k definicnimu oboru puvodni funkce jedine reeni teto rovnice, totiz $x_0=\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Odtud take snadno

$\varphi (x_0)=\varphi\left (\frac{\sqrt{2}}{2}\right )=\frac{3}{2}-\ln\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\ln 2.$

To je ale soucet dvou kladnych cisel. Tim se potvrzeuje nas fakt, ze pro vsechna cisla $x\in\mathbb{R}^+$ plati nerovnost (1). Odtud konecne take mame neresitelnost rovnice

$x^2+1-\ln x=0$

v oboru realnych cisel.

Dale z nerovnosti (1) a z prvni derivace puvodni funkce plyne, ze prvni derivace zadane funkce x+ln(x)/x je kladna na celem def. oboru. Odtud mame monotonnost funkce, presneji, funkce je na celem D_f rostouci. Co se tyce asymptot, ukaze se pomerne snadno, ze existuje jedina asymptota se smernici (smernice bude k=1) a asymptota svisla, jeji rovnice bude

a: x=0.

To se vidi snadno z definicniho oboru D_f.

Co se tyce vlastnosti, je zapotrebi upresnit o jake se jedna. Sudost, lichost (resp. ve lovenstine parnost, neparnost), intervaly monotonnosti, pruseciky se souradnicovymi osami, inflexe, etc.
=================================

V oboru vsech komplexnich cisel pak existuje reseni. Jak se ta tusit, povede to na Lambertovu funkci W(z).

Handy · 12. 12. 2007 15:04

Ahoj můžu poprosit o výpočet? y = lnx/x ?

Díky Handy

Marian · 12. 12. 2007 15:50

Ta funkce a jeji derivace je dosti snadnou zalezistosti. Pokus se zacit sam. Skutecne to neni tezke. Napis sve vypocty do tohoto fora. Opravime je nebo poradime. Pokud bude problem, vyuzij odkaz o nekolik prispevku vyse, jehoz autorem je Robert Mařík. Zadej funkci na zminovanem odkazu ve tvaru

(ln(x))/x

a nastav nejak rozumne rozsah na souradnicovych osach. Neverim, ze nespoctes nic z toho!

Handy · 12. 12. 2007 18:59

ano tuším,že tato fce je lehká,ale mate mě ten logaritmus......myslím si,že definiční obor této fce D(f) = R-(0) a je spojitá na celém def.oboru,ovšem nevím jak vypočítám sudost či lichost :Handy

jelena · 12. 12. 2007 19:34

Logaritmus znepokojiue pravem :-) Vyraz za log (nebo take za ln) musi byt kladny, proto si musis opravit definicni obor, zaporna cisla tam take nejsou. Z toho vyplyva i to, ze funkce nebude ani suda ani licha.

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2007 22:05

Funkce.

#2 09. 12. 2007 22:49 — Editoval robert.marik (09. 12. 2007 22:51)

Re: Funkce.

#3 10. 12. 2007 09:15 — Editoval Marian (10. 12. 2007 09:26)

Re: Funkce.

#4 12. 12. 2007 15:04

Re: Funkce.

#5 12. 12. 2007 15:50

Re: Funkce.

#6 12. 12. 2007 18:59

Re: Funkce.

#7 12. 12. 2007 19:34

Re: Funkce.

Zápatí