Matematické Fórum

↑ halogan:
Pokud jsou dva hráči, pak hrát vždy 1 je určitě nejlepší - nemůžu prohrát. Ale už u třech kráčů (pokud nekooperují) je to složitější - dva mohou zahrát 1 a třetí hráč 2 a ten pak zvítězí.
Když to řeknu úplně jednoduše - hledáme nějakou strategii (tj. postup jak zvolit číslo), abych po mnoha opakujících se hrách dosáhl co nejlepšího výsledku. Jednou z možných strategií je, jak píšu výše, každé hodnotě přiřadit pravděpodobnost a pak z tohoto pravděpodobnostního rozdělení náhodně vybrat číslo a to bude mým tipem. Další otázka je, zda protihráči mohou znát mou strategii nebo ne, ale předpokládejme že ne - oni by se měli asi řídit nějakým minimax pravidlem, tedy předpokládat, že já hraju co nejlépe a na základě toho volit svou vlastní strategii.

Možná by čiště pro zajímavost mohlo být zajímavé navrhnout strategii pro n=3 hráče. A pak třeba simulací určit, která je lepší. Ono to ale záleží i na tom, jak jsou všichni soupeři chytří. Když třetí hráč bude "hloupý" a bude stále tipovat číslo 100, pak se bude de facto jednat o hru dvou hráčů a tady se již vyplatí tipovat 1.

↑ halogan:
V jakém případě mohou mít jednorázové a opakované hry odlišná řešení? Nelze opakovanou hru považovat za několik jednorázových her po sobě? Jediné co mě napadá, že je rozdílné, že je možné využít toho, jak hráli soupeři, ale pokud budeme předpokládat, že ani to nám nebude známo, pak nevidím mezi oběma typy her rozdíl - snad jen v možné "jistotě" zisku: Hrát jednu hru takovou, že když padne panna, zaplatím 500tis. a když padne orel, tak získám 1mil. bych nehrál. Ale hrát tuto hru opakovaně (např. 1000x) s tím, že vyúčtování proběhne až nakonec, s tím bych souhlasil.

No, ale i kdyby bylo známo jak hráli v minulých hrách soupeři, pak je otázka, zda lze tuto informaci dále využít: Každý soupeř může přece v každém svém kroku volit jiný postup (jiné pravděpodobnostní rozdělení, apod.).

Možná jsem chybně použil slovo strategie, která už má v teorii her svou definici. Jde o to, stanovit postup, na základě kterého zvolím své číslo. Vím jen to, kolik hraje hráčů, ale neznám ani jejich postup, který při volbě svého čísla volí, ani číslo které zvolili a při opakovaných hrách budeme pro jednoduchost zkoumat případ, kdy toto neznáme ani v minulých hrách.

(Toto opakování má význam pro simulaci, ky bychom počítačem chtěli ověřit úspěšnost daných postupů. Zde je vhodné hry opakovat a "zprůměrovat" a po několika opakováních zjistit nejlepší postup - hráče, který nejčastěji vyhrál a předpokládáme, že s rostoucím opakováním her nebudou výhry jen otázkou náhody, ale spíše vhodného postupu.)

Dle mého by tímto rozumným postupem mohl být výše uevdený pravděpodobnostní přístup, ale lze zvolit libovolný jiný. Formálně by asi šlo o nějaký algoritmus, ve kterém může figurovat náhodný prvek, a jehož výsledkem je tipované číslo.

Jinak pro n=2 nevidím lepší postup než hrát stále číslo 1. Ale zde bychom měli definovat co je to lepší postup. Asi nějaká agregace (průměrný zisk) přes všechyn možné postupy. Ale tak se zase vystavujeme tomu, že do této agregaci zahrneme i "špatné" postupy, které by asi nikdo nikdo nehrál (např. v případě n=2 tipovat 100, apod.) a to dle mého také není správně. Případně bychom lepší postup mohli definovat tak, že necháme hráče s těmito postupy hrát proti sobě. Ale to může narazit na to, že postupy nemusí být co se týká výhry tranzitivní. Když A porazí B a B porazí C, pak i C může porazit A.

Možná pro n=3 bychom mohli přizvat ještě jednoho hráče a každý by si mohl promyslet svůj postup.

↑ halogan:
Přemýšlím o triviální hře: kámen, nůžky, papír (K,N,P). Zde zřejmě neexistuje deterministický postup, jak volit symbol (K,N nebo P) v následující hře, ale na druhou stranu mi na první pohled přijde optimální postup, kdy náhodně s pravděpodobností 1/3 zvolím jeden ze symbolů. Optimální ve smyslu, že se snažím, aby "nejhorší případ byl co nejlepší" - tedy ať hraje soupeř jak hraje, chtěl bych svou ztrátu minimalizovat.

Jinak k té naší hře pro n=3 mě zatím napadlo, že postup by mohl být (nečti však za účelem, abys proti ní vymyslel postup lepší - viz text dále):

Zatím jsem se nepokoušel ani k K,N,P ani u této dokázat, že tyto postupy jsou opravdu nejlepší.

V některých hrách ale může, myslím si, nastat to, že k postupu A existuje lepší postup B než A a k němu zas lepší postup C než B, ovšem A je lepší než B (tedy relace "být lepší" není tranzitivní), psal jsem o tom i výše. To by ale znamenalo, že žádný nejlepší postup neexistuje a je jen na náhodě jaký postup zvolíme (zda A,B, nebo C). Jistě, může existovat více postupů, které jsou "horší" než A,B, i C, ale A,B,C jsou v jistém smyslu ekvivaletní, že nelze říci, který z nich je lepší. Je to vlastně takové kvaziuspořádání.

Otázka je, zda to, že se na konec po několika hrách vylosuje náhodné číslo a z té hry pak všichni dostanou své výhry, je spravedlivé: To pak může mít za následke strategii, kdy se snažím co nejvíce her vyhrát, byť i s malým ziskem, a počítat ve své strategii s tím, že několik málo her prohraju s obrovskou ztrátou. Díky náhodnosti bude pravděpodobnost, že tyto prodělečné hry budou vybrány, malá, a tedy bude tento postup vhodnější než se snažit, řekněme, polovinu her vyhrát a polovinu prohrát a zisk a ztráta se budou v každé hře rovnat. Např. pokud bychom měli strategii A, že z 100 her (přibližně) v 99 vyhraju 1Kč a v jedné prohraju 99Kč a měli bychom stratiegii B, že v 50 hrách vyhraju 1Kč a v 50 hrách prohraju 1Kč, pak nejspíš pro postup, kdy se náhodně vybere jedna ze sehraných her a podle ní se vyplatí výhry, je lepší strategie A. To ovšem platí v případě, kdy je těch 100 her sehráno jen jednou, nikoli opakovaně - jinak by asi A a B při velkém počtu sehrání těchto 100 her byly rovnocenné.

Pokud budou hráči vybírat ze stejného náhodného rozdělení a chci, aby měl každý co největší pravděpodobnost výhry, tak mě napadlo, že hodnotu 1 zvolíme s pravděpodobností [mathjax]p_1[/mathjax] tak, aby ji průměrně zvolil 1 hráč, což podle mě vede na rovnost [mathjax]{p_1}^n=\frac{1}{n}[/mathjax], tj. [mathjax]p_1=\sqrt[n]{\frac{1}{n}}[/mathjax]. A stejně tak by bylo rozumné volit, že čísla 1,2 vyberou průměrně 2 hráči, takže označím-li jako [mathjax]s_2[/mathjax] pravděpodobnost, že hráč zvolí 1 nebo 2, tak chceme, aby [mathjax]{s_2}^n=\frac{2}{n}[/mathjax], tj. [mathjax]s_2=\sqrt[n]{\frac{i}{n}}[/mathjax], a pak bude [mathjax]p2=s_2-p_1[/mathjax] pravděpodobnost, že zvolíme právě hodnotu 2. A tak lze postuupovat dále. (Případně nakonec všechna [mathjax]p_i[/mathjax] znormujeme jejich součtem, abychom dostali úplnou pravděpodobnost.)
Asi to není úplně korektní, ale bylo by zajimavé nějakou simulací zjistit, zda je toto lepší (tj. zda má každý hráč větší šanci na výhru) než např. rovnoměrné rozdělení, kdy jen náhodně zvolím jedno číslo mezi 1 a n.