Matematické Fórum

grygi · 16. 08. 2013 10:51

prosim o pomoc pri vypoctu :-)

zdenek1 · 16. 08. 2013 17:28

↑ grygi:
Začneš tím, že si vypočítáš těžiště tělesa a moment setrvačnosti vzhledem k přímce dotyku s podložkou.

grygi · 16. 08. 2013 20:45

i pres tuhle radu se mi nedari dopocitat k spravnemu vysledku....
nepomohl by mi nekdo s postupem?? predem za nej dekuji ...

zdenek1 · 16. 08. 2013 22:30

↑ grygi:
Kolik ti vyšlo to těžište?
Kolik moment setrvačnosti?

grygi · 17. 08. 2013 10:25

teziste mam podle vzorce $\frac{\sum_{}^{}S_{i}*y_{i}}{S}$ a to mi vyslo R/6
a moment setrvacnosti asi 29/32 mR^2
ale jista si nejsem

zdenek1 · 17. 08. 2013 12:43

↑ grygi:
těžiště je OK
moment setrvačnosti máš nepřesně. Počítáš $m$ jako hmotnost plného válce, ale v zadání je zadaná hmotnost dutého válce, musíš provést korekci.

grygi · 17. 08. 2013 14:27

takto jsem pocitala

$J_{dutina}=\frac{1}{2}*\frac{m}{3}*(\frac{R}{2})^2+\frac{m}{3}(\frac{3R}{2})^2$

$J_{plny}=\frac{1}{2}*\frac{4}{3}*mR^{2}+\frac{4}{3}m{R}^2$

$J_{duty valec}=\frac{29}{24}mR^{2}$

a po dosazeni do vzorce pro periodu , ktery je : $T=2\pi \sqrt{\frac{J}{mgd}}$

po dosazeni mi vysla perioda $T=2\pi \sqrt{\frac{\frac{29}{24}mR^{2}}{mg\frac{5}{6}R}}=0,76 s$
ale podle vysledku ma vyjit 1,7 s .
kde delam chybu???

zdenek1 · 17. 08. 2013 17:44

↑ grygi:
Teď je moment setr. OK.
Zásadní chyba je v tom, že toto není fyzické kyvadlo. Takže vzorec pro periodu, který uvádíš prostě nesedí.

Musíš se vrátit k základním principům.
Vhodné je použít ZZE

Když se válec pootočí o úhel $\alpha$ , těžiště se zvýší o
$h=\frac r6(1-\cos\alpha)$
Protože se jedná o malé kmity, můžeme kosínus nahradit $\cos\alpha\approx 1-\frac{\alpha ^2}{2}$ (pokud nevíš o co jde, tak si najdi Taylorův rozvoj fce kosínus)
a pak dostaneš při maximální výchylce $E_p=mg\frac{r}{6}\frac{\alpha ^2}{2}$

Přitom se střed válce posune do vzdálenosti $A$ (amplituta) a platí (pro malé úhly) $\frac{A}{r}=\tan\alpha\approx \sin \alpha \approx \alpha$
Pak můžeš zapsat $E_p=\frac{mgA^2}{12r}$

Při průchodu rovnovážnou polohou se potenciální energie přemění na kinetickou. Válec se otáčí kolem přímky, kde se dotýká podložky.
$E_k=\frac12J\Omega ^2$ ( $\Omega$ je úhlová rychlost otáčení kolem dotykové přímky - to není úhlová frakvence kmitů)
Dále pro rychlost středu platí
$v=\Omega r$ - pohyb po kružnici (zase jen pro malé úhly)
$v=\omega A$ - kmitavý pohyb ( $\omega$ - úhlová frekvence)
Z těchto dvou vztahů dostaneš $\Omega =\frac{\omega A}{r}$
$E_k=\frac12 \cdot \frac{29}{24}mr^2\cdot \left(\frac{\omega A}{r}\right)^2$
No a nyní $E_k=E_p$
zbytek je algebra a vztah $\omega =\frac{2\pi}{T}$