Matematické Fórum

Zdravím oba :-)

(Prosím někoho znalejšího ať taky přispěje.)

Za to se také přimlouvám. Za sebe - řekla bych, že dobré začínat od historického úvodu a od fyzikálních aplikací a v textech přiměřených ZŠ, SŠ (např. sada Matematiky pro gymnázia má dobrý díl k tématu a dost srozumitelný.

Z online - materiály pana Reichla a studijní texty FO k matematice. Zdárné studium přeji.

↑ Aktivní:

jen drobnost - nevynechávej, prosím, v zápisu integrálů dx, sám povídáš že "dx je jenom označení, říká nám že integrujeme podle proměnné x" (tak alespoň proto).

↑ buff:

v materiálech, co mám v odkazech, je to dobře vysvětleno + historické úvody jsou dost názorné, lepší, když si podle textu nakreslíš sám. Ale animace - např. zde na úvod právě zavedení geometrického použití integrálu pro výpočet obsahu, na závěr použití integrálů v geometrii.

Jinak si musíš sám zvážit, jak dobře se orientuješ ve funkcích - co už jsi prostudoval, jak jsi daleko ve studiu funkcí? Jinak je to trochu hop do hluboké vody - rovnou na integrál a zbytečně to může odradit.

Dal by se jako příklad integrálu použít výpočet poloh bodů x,y na kružnici opsané, vzhledem ke středu S?

ne, toto není dobrý příklad na integrály.

Tak koukám na to riemann-cz pdf na 3. stránku a už asi začínám chápat co znamenají ty čísla u toho , takhle jak to vidím přímo na tom grafu, tak je z toho jasné že se jedná o rozsah toho grafu na ose x.

A kde na tom grafu je to x? tedy dx? Jsou to ty čísla 1,2,3 které nanášejí na osu x nebo to jsou ty reprezentany?

tie integraly predstavuju nejaky model ako sa konkretna bunka excituje pri danom svetelnom rozdeleni. napr. ta zodpoveda asi cervenej, cervena sa vidi pomocou buniek na sietnici co obsahuju akesi farbivo (asi cervene). tu vie excitovat aj svetlo inej farby, trebars fialovej. a v oku mame tri typy buniek s tromi roznymi farbivami (farboslepym niekedy chyba jeden typ a maju iba dva mozno aj menej, tiez aj ine zivocichy mozu mat menej alebo viac) - kazda z nich sa excituje nejak inak pri danej farbe svetla - to predstavuje to rozlozenie intenzity . a potom to ako sa nam naexcitovali jednotlive typy buniek () sa prenesie do mozgu a interpretuje ako dana farba. no a potom pocitace vyuzivaju to, ze sa dana farba da v mozgu vyvolat tak, ze namiesaju iba cervenu zelenu a modru (resp nejake ine tri) vo vhodnom pomere. nase oko a mozog nerozozna rozdiel medzi monochomatickym zelenym svetlom a nejakou vhodnou zmesou zltej a modrej.

ale teda poucenie
1) miesanie farieb nema nic spolocne s integralmi; samotne miesanie su len linearne kombinacie

2) integraly sa vyskytuju v modeli ktory nam hovori kolko ktorej farby by sme mali namiesat ak chceme dosiahnut efekt zodpovedajuci nejakemu dopredu danemu

na to preco je takyto model zmysluplny treba nejaku fyziku a zisla by sa aj statistika, hlavne pojem strednej hodnoty

3) takyto rozklad do RGB (alebo xyz alebo ako si to chces nazvat) neobsahuje plnu informaciu o danom svetle, iny zivocich (napr. holuby su myslim tetrachromaty) by mohol rozlisit farby ktore sa nam javia ako rovnake

nie pod strednou hodnotou som mal na mysli to, ze
predstavuje strednu hodnotu premennej v rozdeleni danom hustotou ; to je vec z teorie pravdepodobnosti a ked k tomu pridas nejaku fyziku tak prave ta predstavuje nejaku celkovu "excitaciu" (netusim ci to je spravny vyraz) bunky (resp. sady buniek s danym farbivom) ktorej schopnost absorbovat svetlo je popisana prave tou hustotou.

pricom ta teoria nemusi nejak presne sediet s tym ako to v ludskom tele naozaj funguje, staci ak to ma spravny efekt, ked sa to pouzije v praxi. nakolko to sedi nemam zdania, lebo biologiu som nestudoval, podal som iba taku moju zjednodusenu predstavu a urcite su tu ludia co by to dokazali podat lepsie.

to co som tym chcel povedat je toto - kasli na integraly ak ta iba zaujima miesanie farieb - tie nakoniec aj tak miesas iba empiricky, t.j. hladas si na palete taku aka sa ti paci. a ak ta zaujma naozaj detailne ten model, tak iba integraly ti stacit nebudu, treba aj fyziku. pricom samozrejme vo fyzke sa bez derivacii, integralov a diferencialnych rovnic neda nikam pohnut.

PS: a ano samozrejme ten model je dostatocne vseobecny aby sa nejakymi modifikaciami dalo popisat vnimanie aj inych zivocichov, trebars bichromatov (2 farebne kanaly), alebo tetrachromatov (4 farebne kanaly) resp. upravit funkcie podla toho ake farbiva ich bunky obsahuju.

tym ze som sa na nich odvolaval som si chcel pomoct v tom aby som poukazal na to, ze je rozdiel v tom ake to svetlo je a ako ho vidime - ale tuto vetu treba brat tak trocha s rezervou

buff napsal(a):

Brano, mě nejde o míchání barev ve smyslu malování, ale o porovnávání barev při programování postupů pro program.

Pokud mohu doporučit, jednodušší je napsat co máš v plánu programovat (případně podrobnosti okolo Tvého programování - případně přesuneme téma do AaP), možná se projasní, že tolik teorie okolo ani není třeba (nebo se projasní, co konkrétně je třeba).

buff napsal(a):

ještě jsem stále v tom žlutém pdf a napadlo mě, co se týče toho určitého integrálu na str. 13 tam se píše, že se "norma" postupně zvětšuje" dokud nedojdeme k uspokojivýmu výsledku (tedy aby se ti reprezentanti z daných intervalů vešly do té naší plochy grafu. Tak mě napadlo jestli ta norma (zde 0,05 je nějak vyjádřena tím vzorcem (Integrálem)? A taky jestli by šlo udělat integrál dy, takže by pak ty obdelníky byly vodorovné? Dále mě napadá, jestli existuje ještě jiná podobná metoda, ale která ma za cíl, aby se ty obdelníky nepřekrývali s křivkou grafu? Pouze se dotýkaly? Jen mě to tak napadlo. Asi by to mohlo být použitelné pouze u pravidelné křivky jako je sinusovka u střídavého napětí, apod. protože hodnoty na ose x by neměly pravidelný odstup...

a) "Norma dělení" jen udává jak rozdělíme úsečku (pod křivkou) na ose x, tedy jak velká bude strana každého malého obdélníku - při normě 0,05 máme úplně úzké proužky obdélníků o straně 0,05.

b) vodorovně být mohou, když nemáme funkci y=f(x), ale x=f(y) - někdy se to hodí použit.

c) je lepší, když obdélníky se překrývají s křivkou grafu, potom je menší chyba ve výpočtu - všimni si, že na jedné straně obdélníku jakoby nedostává do plného obsahu, naopak na druhé přebývá, tedy celkové se to skutečnému obsahu pod křivkou blíží lépe,

d) může to byt u různých (i "nepěkných na pohled") křivek, můžeme také obrazec rozdělit na díly podle "pěknosti" křivek, můžeme dokonce počítat i obsah obrazce, který není hezky uzavřen, ale jen se uzavření blíží (viz užití nevlastních integrálů).

Ale mám dojem, že zaměření na Tvůj program bude více účelné. Pro studium integrálů opět doporučuji materiály z příspěvku ↑ 3:.

↑ buff:

v pořádku, ovšem od kolegy Brano se dostane kvalitnějšího výkladu, než bude ten můj.

kde nechápu jak došli k tomu vzorci xi-xi-1 nebo xi-1

ten vzorec je "klíčový" v geometrickém použití integrálu pro výpočet obsahu (a pro zavedení pojmu integrál). Rozdělili úsečku na ose x na drobné úseky velikosti normy a počítají obsah malých obdélníků - na ose x vezmou vzdálenost mezi sousedními body dělení (proto a , nap5. mohu vzít mezi 5. bodem a 4. bodem, to bude a ). Tento rozdíl tvoří jednu stranu malého obdélníku. Potom vezmou bod "někde" na úsečce, to "někde" je ovšem takové, že mu přesně odpovídá hodnota funkce na křivce, tedy druhá strana obdélníku je . Vynásobením délek stran dostanou obsah jednoho malého obdélníku: pozor - zde a, b jsou délky stran obdélníku jak umíme vzorec pro obdélník, nejsou to a, b - hranice intervalu)
A tak projdou obsahy všech malých obdélníku. Znak sumy  značí, že takové malé obsahy sečtou. 

str. 16 dole je věta 3. kde mě mate možnost použít interval [c,b] - měl jsem za to že v intervalu [a,b] musí být a nutně nalevo protože a<b, a tutíž bych očekával to samé u c, resp. [b,c] ne [c,b].

c leží na intervalu od a do b, v pořadí a rozděluji interval na menší dva podintervaly. Obsah každého počítáme určitým integrálem. Tedy počítáme nejdřív kousek od a do c (na intervalu  [a,c]), potom kousek od c do b (na intervalu  [c, b]). Když kousky slepíme, dostaneme celý obsah na intervalu [a, b].

O tomto využití jsme již mluvili, že můžeme celou plochu rozdělit na plochy nad jednotlivými úseky podle "pěknosti" (využívá se, když plocha je tvořena z kousku různých funkcí například).

Teď jsem si všiml že to X s dolním indexem i-1 je také v dolním indexu, to jsem ale neviděl. Kdyby to dali do závorky jako tak to dá hned smysl, ale koukám on ten index jde stejně špatně rozpoznat, velikost znaků x a -1mi přijde podobná takže to dost mate. Optický klam

↑ buff:

:-) žena, stačí pozorně sledovat slovesa v minulém času (mám např. "řekla").

Kdyby to daly do zavorky

:-) autorem odkazu je pan Robert Mařík, tak asi nebude daly.

to max {.., ..} to je definiční obor ?

máš na mysli povídání o "normě dělení" - ze vzdáleností mezi dělicími body bereme maximální hodnotu vzdálenosti - může se stát, že nejde podělit na stejné úsečky mezi krajními body - máme hodně stejných, ale (alespoň) jedna zůstane kratší (viz hned první obrázek, kde norma dělení 2, ale druhá úsečka je kratší).

Je to tak jasné?

↑ buff:

Ahoj.  Uvedu ještě jeden pohled na integrál.   

Mějme např. na intervalu   definovánu kladnou funkci , jejímž grafem je křivka (o rovnici  ,  jak jinak),
tedy je na uvedeném intervalu spojitou funkcí.
 
Zvolíme-li čísla tak, aby ,  je tím definován obrazec , jehož "základnou" je interval
na ose ,  "pobočnými stranami" úsečky na přímkách o rovnicích a "střechou" ta část křivky , jejímž kolmým
průmětem  na osu je interval .

Na číslo pohlížejme jako na konstantu, zatímco  na jako na proměnnou. Obrazec , vlastně ,  nechť
má obsah .  Zkoumejme, jak funkce souvisí s funkcí .  K tomu pevně zvolme .  Z předpokladů o funkci
plyne, že je spojitá v bodě ,  tedy - podle definice spojitosti -  k libovolně malému existuje takové, že

(1)                                pro každé   je .

Zvolme , k němu vezměme  z předchozího výroku a uvažujme .  Přidejme nejprve předpoklad .
Obrazec  vznikne z prodloužením jeho základny z na , tedy připojením svislého "proužku" o šířce ,
jehož obsah vyhovuje nerovnosti   

(2)                                        ,

jak plyne z (1)  (k lepšímu pochopení pomůže obrázek) .  Úpravou  (2)  obdržíme

                                          ,
                                          ,

pro a z definice jednostranné derivace odtud dostáváme  .
Pro  bychom obdobnou úvahou obdrželi , což spolu s předchozím výsledkem dávé  .

Tedy na uvažovaném intervalu je primitvní funkcí k , a sice taková, že  ,  jak je zřejmé.  Taková funkce existuje
právě  jedna.  Jestliže (na uvažovaném intervalu) je obecně jiná p.f. k než  ,  potom zde identicky platí  ,
speciálně pro  bude    . 

Obsah našeho obrazce je tedy roven hodnotě  , kde je libovolná primitivní funkce k na intervalu .

Za uvedené situace pak číslo    nazýváme Newtonovým "integrálem funkce od  do "  a píšeme


                                                    .


Vzhledem k velké rozmanitosti  funkcí byly hledány i další definice integrálu (tj. metody, jak počítat především obsah obrazce, jehož  hranice je složena
případně i ze složitějších křivek, než jsou úsečky). Jednou z nich je i  definice Riemannova založená na tom, že omezená funkce integrovaná na uzavřeném
intervalu je aproximována zdola i shora pomocnými funkcemi, které jsou po částech konstantní.
Neexistuje "obecná" integrační metoda použitelná  na všechny případy funkcí. Každá z takových metod funguje pouze na určité třídě funkcí a má své
výhody i nevýhody .  Jdou-li na určitou funkci použít dvě integrační metody, vedou ke stejnému výsledku. Na obzvláště jednoduché případy, jakými jsou
funkce spojité na uzavřeném intervalu, fungují všechny integrační metody (s týmž výsledkem).

Může mi někdo vysvětli ten vzorec na str. 28 dole ?
http://is.muni.cz/elportal/estud/prif/p … ann-cz.pdf

Je tam součet hodnot yi = S
h je asi diferenciál

hS/2 = S/20 = nějaké číslo které je výsledkem integrálu [1,2] kde je funkce  f ((sin x) / x) dx.n

Což nechápu co je to číslo zač.

↑ jelena:

Díky, našel jsem ještě jeden odkaz kde to je dobře popsáno:

"Dopadá-li světlo určitého spektrálního složení do oka, vzniká v mozku barevný vjem, barva. Světlo je charakterizováno světelným tokem, který je mírou účinnosti světla při vyvolání vjemu jasu, vlnovou délkou jíž odpovídá vjem barvy zvaný tón a čistotou jíž odpovídá sytost. Subjektivní barevné vjemy můžeme vyjádřit číselnými hodnotami, které přesně vystihují barvu. Podle normy Mezinárodní osvětlovací komise (CIE) z roku 1931, vzniklé na základě měření velkého počtu pozorovatelů, se předpokládá, že oko vnímá třemi
orgány, jejichž citlivost k barvám je vyjádřena barevnými podněty (trichromatickými členiteli) x(λ) , y(λ) , z(λ) spektrální barvy vlnové délky λ . Barevnými souřadnicemi (trichromatickými souřadnicemi) příslušné
spektrální barvy nazýváme veličiny"
a následuje vzorec který neumím opsat a vlastně neumím přečíst to x s čárou nahoře. To se ve vzorci asi nečte jako x s čarou.

x + y + z = 1
Protože platí x + y + z = 1, stačí k definici barvy znát jenom dvě z těchto
veličin. Barevné podněty, v závislosti na vlnové délce světla, jsou znázorněny
na obr.8."
x=(x s čarou nahoře) / (x s čarou nahoře) + (y s čarou nahoře) + (z s čarou nahoře)

No já bych to nazýval asi vstupem raději než tím složitým slovem co si nezapamatuju. Článek popisuje měření propustnosti, takže je jasné, že jsou nějaké hodnoty na vstupu (podněty) a nějaké na výstupu (výsledek), podobně jak u té funkce y=f(x). Vstupy jsou na ose x a výstupy na ose y.

PS: Vždyď ono to není těžké si to zapamatovat tri+chroma ... Ale ten název platí pouze v optice a já věřím, že ta čárka nad x se používá obecně i v jiných oborech...