Matematické Fórum

Alexandra44441 · 20. 08. 2013 12:55

Dobrý den,

mám tady dvě diferenciální rovnice. První z nich je:
1. $u^\prime=-\frac{3}{t(t^2+1)}$

Potřebuji nějak vysvětlit jeden z kroků. Vím, že si (-3) vyndám před integrál a pak mi k integraci zůstává část ve tvaru:
$\int\frac{1}{t(t^2+1)} dt$
Rozložím tento integrálna parciální zlomky, čili:
$\frac{1}{t(t^2+1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2+1}$
kde po úpravě máme tedy:

$1=A(t^2+1)+Bt$
z čeho pak
$A=1$
jak pak ale určím to B, když je tam kvadratická rovnice?
a dále: výsledek je
$u(t)=\frac{3\ln(t^2+1)}{2}-3\ln(t)+\mathbb{C}$
potřebuji dovysvětlit ten další krok, protože mi je jasné, že když je A=1 pak dostáváme jeden z parciálních zlomků ve tvaru
$\int\frac{1}{t}\mathrm{dt} = \ln(t)$
ale už mi není jasné, jak z druhého zlomku dostali tvar, který je druhou částí výsledku. Protože integrál ve tvaru:
$\int\frac{1}{t^2+1}\mathrm{dt} = \arctan(t)$

Děkuji za vysvětlení. Pak doplním tu druhou rovnici protože to je obrácený problém.

jarrro · 20. 08. 2013 13:05 — Editoval jarrro (20. 08. 2013 13:08)

$\frac{1}{t(t^2+1)}=\frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{t^2+1}$
alebo substitúcia $t^2=s$

Alexandra44441 · 20. 08. 2013 13:48

↑ jarrro:
Když bych použila substituci $t^2=s$ , tak pak co s tím dál? Furt se v tom nějak ztrácím.

jarrro · 20. 08. 2013 19:50 — Editoval jarrro (20. 08. 2013 19:50)

↑ Alexandra44441:potom to prejde na
$\int{\frac{1}{2s$s+1$}\mathrm{d}s}$

Alexandra44441

↑ jarrro:
Já jsem použila trošku jinou substituci, ale už jsem to nakonec rozlouskla. Neuvědomila jsem si totiž, že u toho B bude ještě t, proto mi to nevycházelo. Ale stejně moc děkuji za navigaci.

Matematické Fórum

#1 20. 08. 2013 12:55

Diferenciální rovnice_1

#2 20. 08. 2013 13:05 — Editoval jarrro (20. 08. 2013 13:08)

Re: Diferenciální rovnice_1

#3 20. 08. 2013 13:48

Re: Diferenciální rovnice_1

#4 20. 08. 2013 19:50 — Editoval jarrro (20. 08. 2013 19:50)

Re: Diferenciální rovnice_1

#5 21. 08. 2013 16:53 — Editoval Alexandra44441 (21. 08. 2013 16:54)

Re: Diferenciální rovnice_1

Zápatí