Matematické Fórum

Tomas5 · 21. 08. 2013 11:16

Dobrý den,
narazil jsem dnes na 2 příklady, které neumím úplně vyřešit.

Zadání prvního příkladu zní:

Dokažte, že integrál $\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos ^{\alpha }\text x}{\sin \text 2 \text x \space\text{cotg x} }\text{dx}$

konverguje k nule.

Zadání druhého příkladu zní:
Dokažte, že hodnota Riemannova integralu $\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{\sin \text x \space\text{cotg x} }\text{dx}$ je nula.

Děkuji za vaši pomoc. V případě zájmu pošlu začátek svého postupu. Lze použít Fourierovy řady?

Rumburak

↑ Tomas5:
Ahoj.

Nejprve ke druhé úloze.

Skutečně je míněn "čistý" Riemannův integrál ? Integrovaná funkce není definována v celém $\langle -\pi , \pi \rangle$ (problematické jsou
všechny celočíselné násobky $\frac{\pi}{2}$ ), navíc mimo tyto body je

$\frac{1}{\sin x \cot x} = \frac{1}{\cos x}$ ,

kterážto funkce není na požadovaném intervalu omezená. Proto uvedený inegrál podle klasické Riemannovy definice neexistuje.

Integrál z první úlohy by se vyšetřoval podobně. Ale pokud se má počítat případná limita podle parametru $\alpha$ , mělo by být řečeno,
k čemu se $\alpha$ blíží.

Tomas5 · 21. 08. 2013 12:24 — Editoval Tomas5 (21. 08. 2013 12:24)

Ahoj,

k první úloze jsem zapomněl dodat, že alpha patří do intervalu (0,1] a je reálná.

ad 2. úloha Ten vzorec jsem si neuvědomil a řešil vše složitě. Jenom nevím proč není funkce $1/cos x$ na intervalu

$[-\pi /2;\pi /2] \text{omezená}$ . Meze jsou přece intervaly na ose x... To nechápu.

Rumburak

↑ Tomas5:

Protože např. $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\cos x = 0$ a $\frac{1}{\cos x}$ je definováno na redukoveném okolí bodu $\frac{\pi}{2}$ , dostáváme $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\left|\frac{1}{\cos x}\right| = +\infty$ .

Mnemotechnicky řečeno: že funkce y = f(x) je omezená znamaná, že se její graf vejde do některého pásu $\{ [x, y] \in \mathbb{R}^2 ; |y| < K \}$ ,
kde $0 < K < \infty$ .

V nadpise tematu se hovoří o nevlastním integrálu, ale teorii nevlastních integrálů pořádně neznám, takže se necítím být povolán vyjdřovat se k nim .

Tomas5 · 21. 08. 2013 17:52

Ahoj, děkuju za vysvětlení. Pokud to správně chápu stačí najít uvnitř intervalu jeden bod ve, kterém integrovaná funkce diverguje, potom celý integrál diverguje?

$\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos ^{\alpha }\text x}{\sin \text 2 \text x \space\text{cotg x} }\text{dx}$ podle mě diverguje pro $0<\alpha<1$ a konverguje pro $\alpha=1$ , ale je to asi špatně. Prosím o kontrolu.

Brano · 21. 08. 2013 18:44

$\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos ^{\alpha } x}{\sin(2x) \text{cotg } x }dx=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos ^{\alpha-2}x dx$
a kedze podintegralna fcia je parna
$=\int_0^\pi \cos^{\alpha-2}xdx=\int_0^{\pi/2} \cos^{\alpha-2}xdx+\int_{\pi/2}^\pi \cos^{\alpha-2}xdx=$
v druhom integrali pouzijeme substituciu $y=\pi-x$ a dostaneme
$\int_0^{\pi/2} \cos^{\alpha-2}xdx-\int_0^{\pi/2} \cos^{\alpha-2}ydy$
takze vysledok je $=0$ za predpokladu, ze integral
$\int_0^{\pi/2} \cos^{\alpha-2}xdx$
konverguje
pouzime substituciu $y=\pi/2-x$ a dostaneme
$\int_0^{\pi/2} \sin^{\alpha-2}ydy$ tu je jediny problematicky bod $y=0$ a kedze $\lim_{y\to 0}\frac{\sin y}{y}=1$ tak ten integral konverguje prave vtedy, ked konverguje
$\int_0^\epsilon y^{\alpha-2}dy$ cize pre $\alpha-2>-1$ t.j. $\alpha>1$ .
Pre $\alpha\le 1$ diverguje a teda diverguje aj povodny integral, ale vieme aspon povedat, ze jeho hlavna hodnota (v.p.) je $=0$ .

Tomas5 · 21. 08. 2013 20:23

Ahoj Brano,

to je pěkný postup řešení. Jistě jsi použil identity $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ a potom se skoro všechno ve jmenovateli vykrátilo a v dalším kroku jsi obrátil znaménko protože se měnily meze u integrálu. Děkuji a pěkný večer.

Matematické Fórum

#1 21. 08. 2013 11:16

Nevlastní integrál divergence

#2 21. 08. 2013 11:50 — Editoval Rumburak (21. 08. 2013 11:51)

Re: Nevlastní integrál divergence

#3 21. 08. 2013 12:24 — Editoval Tomas5 (21. 08. 2013 12:24)

Re: Nevlastní integrál divergence

#4 21. 08. 2013 16:00 — Editoval Rumburak (21. 08. 2013 16:17)

Re: Nevlastní integrál divergence

#5 21. 08. 2013 17:52

Re: Nevlastní integrál divergence

#6 21. 08. 2013 18:44

Re: Nevlastní integrál divergence

#7 21. 08. 2013 20:23

Re: Nevlastní integrál divergence

Zápatí