Matematické Fórum

buff · 21. 08. 2013 13:46 — Editoval buff (21. 08. 2013 14:04)

Mám opět nějaký dotaz, tetokrát k limitám. V tom učivu co studuju jsou totiž příklady jejichž popisu a postupům pro výpočet nerozumím

http://www.mojeskola.cz/Vyuka/Php/Learn … rokem1.php

Nejdříve teorie

Co mě mate: Cituji (řecké písmena jsem doplnil textem v závorce)
"Obecně označme libovolnou "blízkost" funkce k limitě L symbolem e (eta) a budeme ji posuzovat pomocí |f(x) - L| a "blízkost" proměnné x k bodu a označme d (delta) a budeme ji posuzovat pomocí |x - a|."

Dejme tomu, že by ten druhý graf měl hodnoty a křivku jako 1. graf.

Z toho textu co je před tou citací mi vyplývá, že když si nastavíme "blízkost" 0,01 tak definiční obor by měl tedy být: f(x)-L < 0,01 . Ale je-li y=f(x)=4 a Limita k bodu a=2 je L=4 tak by f(x)-L mělo být nula, ne?
Nebo platí že L<f(x) a že L<0,01 ? Na těch grafech se L objevuje u čísla 4 na ose y a to je pro mě matoucí. Ale L nemá označovat hodnotu 4, jenže to že na 4 leží ta limita, čili hodnota y nebude nikdy 4... chápu to správně? Takže mohu zapsat že L<0,01? Nebo jak?
A prosím nevkládejte žádné složité vzorce, je to zbytečné (nepochopím).

Příklad 6. a 4.

, takže se chci zeptat ještě na toto:
http://www.mojeskola.cz/Vyuka/Php/Learn … s/lim4.gif
jde o limitu v bodě x=2 pro funkci sinus x děleno x . Na obrázku ovšem nevidím žádný bod x takže nevím o který úhel se jedná. Vidím teda jen ten oblouk popsaný jako x. Takže z toho nerozumím ve kterém místě ta limita vlastně leží.

Jo a píšou že

Z vlastností goniometrických funkcí a z obrázku lze v I.kvadrantu odvodit:
pro každé x>0 platí x > sinx a tedy
sin x je menší než 1

Nevím jak k tomu dospěli

A ještě jeden příklad kterému nerozumím uvádí:

limita v bodě x=2 pro funkci (x+2) se rovná 4. Jak to že se rovná 4? Tedy zapsané to mají takto: lim x=2 (x+2) = 2+2 = 4

a proč se odtamtud vytratilo to x

jarrro · 21. 08. 2013 14:37 — Editoval jarrro (21. 08. 2013 15:11)

hodnota priamo v skúmanom bode nás nezaujíma. funkcia tam nemusí byť ani definovaná
celé je to o tom, že ak má nejaká funkcia v bode $a$ limitu $L$ , znamená to, že keď ti niekto zadá ľubovoľné $\varepsilon$ (epsilon) kladné , tak ty nájdeš také $\delta$ kladné, že
ak je $x$ od $a$ vzdialená najviac $\delta$ jednotiek tak funkčná hodnota $f{$x$}$ je od danej limity $L$ vzdialená najviac $\varepsilon$ jednotiek
hodnota $L$ môže byť v niektorých prípadoch veľmi veľká napríklad
$\lim_{x\to 1}{$x+1000000000000$}=1000000000001$
x na danom obrázku je hodnota zobrazeného uhlu v oblúkovej miere v stupňovej miere je ten uhol
$$\frac{180x}{\pi}$^{\circ}$
obrázok vychádza z bežnej elementárnej definície goniometrických funkcií uhlov v pravouhlom trojuholníku teda sínus je pomer dĺžky protiľahlej odvesny a prepony, cos priľahlej a prepony a tangens protiľahlej a priľahlej
porovnaním obsahov menšieho trojuholníka, kruhového výseku a väčšieho trojuholníka a klasickými úpravami dostaneme ohraničenie pre
$\frac{\sin{$x$}}{x}$
keby sa nevytratilo tak by to nebolo vyriešené, lebo limita funkcie v bode je $\color{red}{\text{ČÍSLO}}$ (prípadne plus alebo mínus nekonečno)

Eratosthenes

↑ buff:

Ahoj,

limita funkce je matematickým nástrojem na zjišťování skutečnosti, zda se funkce v daném bodě "blíží" k nějaké hodnotě, anebo ne:

Ani jedna z funkcí není definována v bodě x=0. V okolí tohoto bodu se však chovají rozdílně. V prvním případě se hodnota funkce "blíží" jedničce, ve druhém se neblíží ničemu, protože stále "divočeji kmitá" mezi minus jedničkou a jedničkou.

Matematicky funguje limita následovně:

Nějakým způsobem (prozatím jedno jak) určíme číslo a na ose y a zvolíme delta (to je to, čemu říkáš "blízkost"). Pak se snažíme najít "blízkost" epsilon na ose x tak, aby funkční hodnoty pro všechna x z této "blízkosti" padly do "blízkosti" epsilon. Pokud se nám to vždycky podaří (tj. ať si původní "blízkost" epsilon zvolíme jakkoli malou), pak má funkce v x_0 limitu a. Na obrázku vlevo je vidět, že to bude fungovat. Napravo to nefunguje - pro nastavenou "blízkost" delta jsou všechny funkční hodnoty mimo, ať si epsilon volíme, jak chceme.

Pro funkci sinx/x na předchozím obrázku podobně: stačí zvolit delta<1 a v jakkoli malém okolí nuly najdu funkční hodnoty mimo zvolený delta - pás.

PS: ten obrázek

http://www.mojeskola.cz/Vyuka/Php/Learn … s/lim4.gif

může pro tebe být poněkud matoucí. To x totiž není osa, která je tam označena, ale úhel AST v obloukové míře - tedy délka toho červeného oblouku.

buff · 21. 08. 2013 15:47 — Editoval buff (21. 08. 2013 16:06)

↑ jarrro:
Chopil bych se té věty "funkční hodnota f(x) je od dané limity L vzdálená epsilon nejvíce jednotek"
Říká se tomu rozsahu nějak? V článku tomu říkají "blízkost". Tedy blízkost k oné limitě.

Myslel jsem jsem že u té limity jde o to být co nejblíže, tedy být co nejblíže té limitě. Zatím to chápu tak, že limita znamená, že se v daném bodě y=f(x) nevyskytuje. Ale jestli ty nemyslíš to, že tam může být ještě nějaká větší mezera. Jo já tomu říkám mezera, to se mi líbí více. Takový "margin", jak máš v html když styluješ prvky. Tak že za ten margin se to x nebo y už nemůže přiblížit.

V tom html to je tak, že třeba ten margin nalevo má hranu nalevo, která ten prvek odsadí od kraje obrazovky zleva. Tím pádem se nemůže přiblížit doleva. Nebo padding, tem zase vytváří mezeru pro ostatní prvky, takže ona to vlastně je vzdálenost mezi prvky. Pevně daná podle toho jak si ji nastaví designer. Takže hrana vlevo paddingu nalevo představuje limitu, za kterou prvek vlevo nemůže jít, nemůže se přiblížit k prvku napravo (ten co má padding) na vzdálenost kterou si určit designer.

jarrro · 21. 08. 2013 16:01 — Editoval jarrro (21. 08. 2013 16:18)

vzdialenosť alebo blízkosť.
hodnota limity môže byť aj viac ako bilión príklad takej funkcie som uviedol v predchádzajúcom príspevku. málo vzdialené čísla môžu byť aj veľké napríklad 1000000000000,000000000001 a 1000000000000 sú od seba vzdialené len o 0,000000000001

buff · 21. 08. 2013 16:07 — Editoval buff (21. 08. 2013 16:15)

↑ jarrro:
Takže je to v podstatě pevně daná vzdálenost, jak si to nastavíš v té rovnici. Tak já to budu přirovnávat k marginu v html což je vlastně offset. Vysvětlení v předchozím příspěvku (po editaci).

Čili limita může být posunuta od funkční hodnoty(x) maximálně o hodnotu "paddingu" a. :-) Rozuměj, a má kolem sebe padding, neboli okraj či offset. Takže hodnota x se může přiblížit maximálně po ten okraj bodu a.

buff · 21. 08. 2013 16:16 — Editoval buff (21. 08. 2013 16:16)

No a mezi epsilonem a deltou je přímá lineární souvislost? Jako že když navíším tu vzdálenost od a 2x tak vzdálenost epsilon se taky 2x navýší?

jarrro · 21. 08. 2013 16:32

↑ buff:nie vždy je tá vzdialenosť lineárna napríklad pri a=0, f(x)=x^2 je
$\delta =\sqrt{\varepsilon}$

buff · 21. 08. 2013 18:14 — Editoval buff (21. 08. 2013 18:15)

↑ Eratosthenes:
Blízkost tomu říkají v tom článku, ale mě to slovo moc neříká tak tomu teď říkám alespoň dočasně padding nebo margin, pojem z hrml/css. Na tom obrázku s úhlem AST

Jde o co? Kde tam je ta blízkost/vzdálenost/padding? Kde je tam ta limita. Já to tam nevidím, takže nevím. Kde je ta proměnná x a bod a?

jarrro · 21. 08. 2013 18:53

ten obrázok len ukazuje návod na dôkaz nerovností
$\frac{\sin{$x$}\cos{$x$}}{2} \leq \frac{x}{2}\leq \frac{\mathrm{tg }{$x$}}{2}$
čo po úprave vedie na
$\cos{$x$}\leq \frac{\sin{$x$}}{x}\leq \frac{1}{\cos{$x$}}$ samozrejme pre kladné x menšie ako $\frac{\pi }{2}$

buff · 21. 08. 2013 19:46

Chápu to teda správně, že padding a limita není jedno a to samé? Takže zatímco epsilon nebo delta je ten "padding"/mezera/vzdálenost/blízkost - tj. interval do kterého to x nebo ta funkční hodnota y nikdy nevstoupí.

Limitu tedy chápu jako dolní hranici toho intervalu, ke které se x nebo y může nekonečně přibližovat.

Je to tak správně?

jarrro · 22. 08. 2013 09:00 — Editoval jarrro (22. 08. 2013 09:01)

↑ buff:v mnemotechnických pomôckach ti asi nepomôžem. v 90 % (10 % tvoria štatistické testy, algoritmy a podobné praktické hovadiny) na pochopenie pojmu prečítam (kľudne aj viackrát za sebou) definíciu a stačí to aspoň na pochopenie o čom to je.
inak bohový prístup (možno je to lepšie neviem posúdiť) riešiť najprv integrovanie, potom derivovanie a limity až nakoniec. veď derivácia je limita a aj určitý integrál je tiež limita. to ako keby druháci na základnej škole najprv brali umocňovanie, potom násobenie a nakoniec ako bonbónik sa vrhli na sčitovanie prirodzených čísel

buff · 22. 08. 2013 09:02 — Editoval buff (22. 08. 2013 09:04)

Můžete mi překontrolovat moje poznámky? hlavně jestli chápu správně ty výpočty dole - Určení vzdálenosti k limitě a Hledání hodnot ve vzdálenosti k limitě...

http://www.viewdocsonline.com/document/q3wcmk

Jarro:
Integrování jsem už bral.

jarrro · 22. 08. 2013 09:11 — Editoval jarrro (22. 08. 2013 09:12)

buff napsal(a):
Jarro:
Integrování jsem už bral.

to je práve to divné, že si ho bral pred limitami
čo sa týka tých poznámok tak mi 90 % (neviem presne nepočítal som slová) príde ako nezmysel dokonca až opak toho čo sa pod pojmom limita myslí
ale je možné, že len neviem čítať cudzie texty (dosť pravdepodobné)

buff · 22. 08. 2013 09:16

↑ jarrro:
No a mohl by si to co je špatně mi nějak přepsat a říct jinak?
Takže větu "Limita L funkce f(x) v bodě a znamená, že se nějaká proměnná nekonečně blíží k bodu a." asi škrtnout, že?

To co dole vyšlo jako 0,01, označuji jako blízkost neboli vzdálenost/prostor/mezeru/padding, apod. a má to být označováno epsilon nebo delta, to je správně nebo špatně? Protože mi to nesedí s tím vzorcem níže
x-a < delta

Eratosthenes

↑ buff:

Ahoj,

nemám moc ve zvyku se pozastavovat nad vyučovacími postupy nebo strukturou učiva, když na to můžu usuzovat jenom z kusých poznámek. Ale brát integrály před limitami, to je tedy hodně silné kafe. Je to jako brát logaritmy před sečítáním. Asi v tom máš pěkný hokej a vůbec se nedivím. Už druhá věta v

http://www.viewdocsonline.com/document/q3wcmk

------
Na obrázku níže by modrá křivka měla být přerušená,protože Limita je v červeném bodě, v tom místě funkční
hodnota y=f(x) nikdy nebude.
-----

je úplně blbě. Takže zkusíme kůček po krůčku:

1. Limita L funkce f(x) v bodě a znamená, že se nějaká proměnná nekonečně blíží k bodu a.

To není definice. Je to jenom jakási intuitivní představa, ale je to dobře.

2. Limita nemá nic společného s tím, jestli v daném bodě funkční hodnota je nebo není, ani s tím, kolik ta funkční hodnota je.

$f(x)=x+2$

$\lim_{x\to 2} f(x) =\lim_{x\to 2} x+2 = 4$

------------------------------

$g(x)=\frac {(x+2)(x-2)} {x-2}$

$\lim_{x\to 2} g(x) =\lim_{x\to 2} \frac {(x+2)(x-2)} {x-2} = 4$

------------------------------

$h(x): x\not = 2 \Rightarrow h(x)=\frac {(x+2)(x-2)} {x-2}; h(2)=0$

$\lim_{x\to 2} h(x) = 4$

Chceš-li to připodobnit k margin - padding, pak tu "vzdálenost" nebo "blízkost" bych bral nejspíš jako padding rámečku s jediným bodem:

Když se ti podaří najít na ose y bod a tak, že pro jeho libovolně malý padding (delta) se podaří najít padding (epsilon) bodu x_0, že všechny funkční hodnoty z epsilon paddingu bodu x_0 padnou do paddingu a, je

$\lim_{x\to x_0} f(x) = a$

Přitom do epsolon - paddingu bodu x_0 se nepočítá samotný bod x_0 (viz funkci h).

buff · 22. 08. 2013 10:46

↑ Eratosthenes:
Díky za pomoc,
takže ty píšeš
"Limita nemá nic společného s tím, jestli v daném bodě funkční hodnota je nebo není, ani s tím, kolik ta funkční hodnota je."
Ale na prvním tvém obrázku není limita a na to druhém limita je a ukazuješ na přerušenou křivku. Tím červeným bodem jsem myslel přesně to co si zakroužkoval - místo kde je křivka přerušená, protože tam není funkční hodnota. Čili to co říkáš a ukazuješ na druhém grafu mi přijde v rozporu. Ale grafy máš fakt pěkný.

Rumburak · 22. 08. 2013 10:47

↑ Eratosthenes:

Ahoj.

Limita L funkce f(x) v bodě a znamená, že se nějaká proměnná nekonečně blíží k bodu a.

Dovolím si doplnit:

Limita L funkce f(x) v bodě a znamená, že

když se proměnná x nekonečně blíží k bodu a , potom hodnota f(x) se nekonečně blíží k L .

Místo "nekonečně" bych v obou případech možná raději použil "neomezeně".

Eratosthenes · 22. 08. 2013 10:52

↑ buff:

Vtip je v tom, že i na tom prvním obrázku limita

========
J E ! ! !
========

Je rovna funkční hodnotě - ale to je taky limita, a velmi důležitá.

Eratosthenes

↑ Rumburak:

======
Limita L funkce f(x) v bodě a znamená...
======

jsem jen citoval z materiálů, já bych to taky řekl trochu jinak, ale to je celkem detail.

vanok · 22. 08. 2013 10:56

Ahoj
Je uzitocne si precitat aj toto
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_(mathematics)

Rumburak · 22. 08. 2013 11:02

↑ Eratosthenes:

Tak v tom případě pardon, že jde o citaci mne nenapdlo. :-)

buff · 22. 08. 2013 11:12 — Editoval buff (22. 08. 2013 11:13)

wiki mi moc nedává, stálé moc složité na pochopení, anglická wiki je na mě až moc těžká - angl. termíny jsou problém. Ale už se začínám blížit tomu abych to pochopil, ale asi je to se mnou jako s tou limitou, že se nekonečně blížím jejímu pochopení ale nikdy to nepochopím :-) žertuji.

Tak rumburak to asi vyjasnil, když zdůraznil slovíčko když.

buff · 22. 08. 2013 11:15 — Editoval buff (22. 08. 2013 11:16)

Rumburak: díky za tu "definici", teď už se vyjasňuje

jarrro · 22. 08. 2013 11:30 — Editoval jarrro (22. 08. 2013 11:44)

limita znamená, že ak sa x blíži k a tak sa f(x) blíži k L
teda pre každé $\varepsilon$ existuje $\delta$ tak, že $\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow \left|f{$x$}-L\right|<\varepsilon$
čo sa dá prepísať $\left|f{$x$}-L\right|\geq\varepsilon\Rightarrow \left|x-a\right|\geq\delta$
teda napríklad pri dôkaze, že $\lim_{x\to 2}{$\frac{x^2-4}{x-2}$}=4$ môžeš postupovať tak, že vezmeš ľubovoľné $\varepsilon$ a predpokladáš, že
$\left|\frac{x^2-4}{x-2}-4\right|\geq\varepsilon$
pre $x\neq 2$ to prejde na
$\left|x+2-4\right|\geq\varepsilon$ čiže $\left|x-2\right|\geq\varepsilon$
z toho pekne vidno, že k danému epsilon možno nájsť deltu s danou vlastnosťou tá je v tomto prípade daná predpisom
$\delta=\varepsilon$
podobne v prípade dôkazu, že $\lim_{x\to 1}{$x^2$}=1$
predpokladáš, že $\left|x^2-1\right|\geq\varepsilon$ teda $x^2\geq 1+\varepsilon \vee x^2\leq 1-\varepsilon$
nech je $x^2\geq 1+\varepsilon$ potom $\left|x\right|\geq\sqrt{1+\varepsilon}$ teda $x\leq -\sqrt{1+\varepsilon}\vee x\geq\sqrt{1+\varepsilon}$ čo dá $x-1\leq -1-\sqrt{1+\varepsilon}\vee x-1\geq -1+\sqrt{1+\varepsilon}$ nech $x-1\leq -1-\sqrt{1+\varepsilon}$ potom $\left|x-1\right|\geq 1+\sqrt{1+\varepsilon}$ čiže v tomto prípade je $\delta =1+\sqrt{1+\varepsilon}$ nech
$x-1\geq -1+\sqrt{1+\varepsilon}$ potom aj $\left|x-1\right|\geq -1+\sqrt{1+\varepsilon}$ teda $\delta =-1+\sqrt{1+\varepsilon}$
podobne nech $x^2\leq 1-\varepsilon$ ak je $\varepsilon\geq 1$ tak pre každé reálne x je predpoklad nepravdivý pre je každá $\delta >0$ dobrá nech je teda $0<\varepsilon< 1$ potom
$\left|x\right|\leq\sqrt{1-\varepsilon}$ teda $-\sqrt{1-\varepsilon}\leq x\leq\sqrt{1-\varepsilon}$ teda $-1-\sqrt{1-\varepsilon}\leq x-1\leq -1+\sqrt{1-\varepsilon}$ z toho vyplýva, že
$\left|x-1\right|\geq 1-\sqrt{1-\varepsilon}$ teda $\delta=1-\sqrt{1-\varepsilon}$
v obidvoch prípadoch sme deltu k danému epsilonu našli a to znamená, že pravdivosť výroku $\lim_{x\to 1}{$x^2$}=1$ je dokázaná