Matematické Fórum

Meglun · 23. 08. 2013 11:14

Ahoj, mám příklad $x+\mathrm{e}^{x}=0$ a mám dokázat, že má rovnice v intervalu $(-1,0)$ , alespoň jedno řešení.
Napadlo mě dostadit za $x$ číslo v daném intervalu. Např. $-\frac{1}{2}$ , ale nevyjde nic hezkého.
Jak se takové příklady řeší ? Prosím nepište mi celé řešení daného příkladu, ale jen způsob, jak na to přijít. Případně název látky, kterou neumím.

Meglun · 23. 08. 2013 11:29

↑ Meglun:
Podle předchozí zkušenosti jsem se dopracoval k tomu, že při dosazení za $x$ nejprve bodu $-1$ a pak $0$ ,
kdy $f(-1)=\frac{-e+1}{e}$ a $f(0)=1$ je $f(-1)*f(0)<0$ , ale musel bych $f(-1)$ vypočítat pomocí aproximace eulerova čísla

Rumburak

↑ Meglun:

Ahoj.

Položme $f(x) := x+\mathrm{e}^{x}$ . Jak je zřejmé, jde o funkci definovanou a spojitou v $\mathbb{R}$ , tedy i v $\langle-1,0\rangle$ .

Navíc platí

(1) $f(-1) = -1+\mathrm{e}^{-1} = -1 + \frac{1}{\mathrm{e}} = \frac {-\mathrm{e} + 1}{\mathrm{e}} < 0$ ,

protože, jak víme, $\mathrm{e} > 2$ ,

(2) $f(0) = 0+\mathrm{e}^{0} = 1 > 0$ .

Jsou tedy splněny předpoklady věty, která se, tuším, nazývá Bolzanova. Viz též Darbouxova vlastnost spojitých funkcí.