Matematické Fórum

JuicyKstrow · 24. 08. 2013 10:03

Ahoj, poradil by mi tady někdo, jak zakreslit tento dvojný integrál, abych byla schopna změnit meze po záměně pořadí integrace? Děkuji.

$\int_{0}^{2}\int_{0}^{x^{3}} f(x,y) dy dx = \int_{...}^{...}\int_{...}^{...}f(x,y)dxdy$

Rumburak · 24. 08. 2013 12:20

Ahoj. Nakresli si množinu $M := \{ [x, y] \in \mathbb{R}^2 ; 0 < x < 2 \wedge 0 < y < x^3 \}$ .

Ekvivalentní tvar jejího vyjádření je

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Předpokladem korektnosti při záměně pořadí integrací je existence dvojného integrálu $\iint_M f(x,y)\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}x$ .

JuicyKstrow · 24. 08. 2013 15:59

↑ Rumburak: Takže po výsledek bude vypadat následovně? $\int_{0}^{8}\int_{\sqrt[3]{y}}^{2} f(x,y)dxdy$

Kdybych měla příklad $\int_{0}^{2}\int_{-y}^{0} f(x,y)dxdy$ tak by po záměne pořadí vypadal takto? $\int_{0}^{y}\int_{0}^{2} f(x,y)dydx$

JuicyKstrow · 24. 08. 2013 17:41

↑ Rumburak:Pořád nějak nechápu, jak tu změnu mezí mam z obrázku vidět, ať se snažím, jak se snažím..

jelena · 24. 08. 2013 20:03

↑ JuicyKstrow:

Zdravím (i kolegu Rumburaka),

nejjednodušší postup vidění změny mezí z obrázku je otočení obrázku o 90 stupňů. Korektně - uvažovat inverzní funkce k zadaným. Přehledný materiál je např. zde (cca str. 32-33), jinak zkus prohledat fórum, úloh a vysvětlení na záměnu bylo více.

Zkus potom, prosím, ještě jednou navrhnout řešení Tvého nového příkladu, zatím se to nepovedlo, mám dojem. Minimální kontrola, že ne OK - Tobě pořád zůstává stejná proměnná v omezení, to se musí změnit.

Výsledek pro 1. úlohu v pořádku, jen pozor na zápis pořadí dydx (viz kolega Rumburak)

JuicyKstrow · 25. 08. 2013 10:08

↑ jelena: Děkuju za odpověď. k mému druhému příkladu - nakreslím si tedy množinu $0<y<2 \wedge -y<x<0$ . Ta oblast je tedy trojúhelník s vrcholy v budech [-2,2];[0,2];[0,0]. Jak říkáte, tak si otočím obrázek o 90° (po směru hodinových ručiček?). Ale nevím, jak teď mam šikovně zapsat ty nové meze. Došla bych ke stejnému zápisu jako minule, ale napsala jste, že tohle řešení není správné, nevím, jak jinak bych je vyjádřila.

jelena · 25. 08. 2013 13:35 — Editoval jelena (25. 08. 2013 13:38)

↑ JuicyKstrow:

také děkuji, to otočení obrázku je samozřejmě jen taková drobná pomůcka, pokud je oblast pro integrování je "špatně" viditelná pro záměnu mezí.

Tento příklad: Tvůj zápis $\int_{0}^{2}\int_{-y}^{0} f(x,y)dxdy$ není úplně ideální na úvodní nacvičení záměny, jelikož obsahuje v hranicích konstantní funkce a hledání inverzních není potom názorné (ke konstantní funkci inverzi nenájdeme). A ještě fórum je v nějakém výpadku, tak mi to nejde odeslat :-)

Aby nebyla nejasnost v pořadí dxdy nebo dydx, přepíší integrál na dvojnásobný: $\iint_M f(x, y)\d x \d y=\int_c^d$\int_{f_1(y)}^{f_2(y)}f(x,y)\d x$\d y$ - tento přepis odpovídá Tvému zadání a pořadí integrování.

Tvůj zápis zadání říká, že máme omezení dané funkci (1) $x_1=f_1(y)=-y$ a $x_2=f_2(y)=0$ , odsud původní meze pro x: $-y<x<0$ a meze pro jsou dle zadání $0<y<2$ . To souhlasí, jak jsi popsala i s trojúhelníkem v popisu.

Potřebujeme změnu mezí takovou (hledám inverzní funkce k (1)): $y_1=h_1(x)=-x$ , z podmínky $0<y<2$ a z bodu [-2, 2] odvodím novou mez pro $y_2=h_2(x)=h_2(-2)=2$ , jelikož je to přímka rovnoběžna s osou x, pro každé x platí $y=2$ . To je trochu problémový moment, pokud chceme pracovat s použitím funkcí inverzních.
Mezí pro y=h(x) jsou teď $-x\leq y\leq 2$ .
Meze pro x jsou opět z podmínky $x(2)=-2$ a $x(0)=0$ , proto meze pro x jsou $-2\leq x\leq 0$ .

Po záměně mezí máme integrál $\int_{-2}^{0}\int_{-x}^{2} f(x,y)\d x\d y$ , v přepisu pro dvojnásobný: $\int_{-2}^{0}$\int_{-x}^{2} f(x,y)\d y$\d x$ .

---------------------------------------------------------
Nahrazení mezí v tomto Tvém integrálu daleko jednodušeji se provede jen odečtem z obrázku: když se díváš na trojúhelník, tak x je na intervalu od -2 do 0, $y=h_1(x)=-x$ a $y=h_2(x)=2$ .

Asi to moc přehledné nebude, dopisovala jsem po výpadku a nějak se mi nedařilo.

JuicyKstrow

↑ jelena:Děkuji moc za vyčerpávající vysvětlení i přes částečnou nefunkčnost fóra. Pokud dle Vašeho předchozího příspěvku chápu dobře, tak bych měla mít správně tento příklad, je to tak?
$\int_{0}^{1}\int_{-x^{2}}^{0} f(x,y) dydx = \int_{-1}^{0}\int_{-\sqrt{y}}^{0}f(x,y)dxdy$

jelena · 25. 08. 2013 17:48

↑ JuicyKstrow:

není za co, ale asi ještě projdi materiál, co jsem odkazovala. Zjednodušeně další kontrola - po změně mezí pořád musí být popsán stejný obrázek, tedy jak změníš meze, tak zkus své meze opět nakreslit.

asi ne úplně. Původně $-x^2\leq y\leq 0$ , $0\leq x\leq 1$ . Pro změnu mezí hledám funkci inverzní k $y=-x^2$ , jen vyjadřuji x: $-y=x^2$ , odsud $x=\pm \sqrt{-y}$ . Máme +/-, jelikož původní funkce nebyla prostá, tak se podívám, zda byla prosta na zadaném intervalu $0\leq x\leq 1$ . Ano, to byla, inverzní funkci máme a intervalu odpovídá větev s +, tedy: $x=\sqrt{-y}$ .

Ostatní omezení jsou přímky, proto jen zapíšeme jako rovnice konstantních funkcí (přímek rovnoběžných s x nebo y):

nové meze po x: $\sqrt{-y}\leq x\leq 1$ , (zde byla chyba v mezích)
nové meze po y: $-1\leq y\leq 0$ zde souhlasí.

$\int_{0}^{1}\int_{-x^{2}}^{0} f(x,y) \d x\d y = \int_{-1}^{0}\int_{\sqrt{-y}}^{1}f(x,y)dxdy$

Ještě takové poznámky:

a) pokud jde o zápis změny pořadí dxdy nebo dydx - osobně bych se orientovala podle zápisu integrálu dvojnásobného. V Rektorysovi vidím, že pořadí ani nepřeměňuje v zápisu - také možné, jelikož podle čeho začít integrovat poznáš podle zápisu "vnitřních mezí" - zda je zápis funkce $f(x)$ nebo $h(y)$ .

b) možná se hodí ještě před přeměnou mezí uvažovat nad předpisem integrálu tak, aby zadával stejný obsah plochy, ale neobsahoval takových znamének, jak máš:

$\int_{0}^{1}\int_{-x^{2}}^{0} f(x,y) \d x\d y =\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}} f(x,y) \d x\d y$

Pokud máš možnost, vytiskni si část odkazu o záměně mezí a projdi ještě s tužkou v ruce.

Rumburak

↑ JuicyKstrow:

Kologyni Jeleně opětuji pozdrav.

Odpověď na první otázku: ANO.

Odpověď na druhou otázku : NE.

Já postupuji následovně. Nejprve si analyticky vyjádřím tu množinu $M$ . Pro integrál

$\int_{0}^{2}\int_{-y}^{0} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ , tj. $\int_{0}^{2}$\int_{-y}^{0} f(x,y)\,\mathrm{d}x$\mathrm{d}y$

(doporučuji - narozdíl od p. prof. Rektoryse - integrál vlevo důsledně považovat za dvojnásobný a nikoli za dvojrozměrný čili dvojný)

tedy bude $M := \{ [x, y] \in \mathbb{R}^2 ; -y < x < 0 \wedge 0 < y < 2 \}$ , neboli pomocí intervalů

(1) $M := \{ [x, y] \in \mathbb{R}^2 ; x \in (-y , 0) \wedge y \in (0 , 2) \}$ .

Pomůže uvědomit si geometrický význam obou intervalů figurujících v zápise (1).

Ten "vnější" interval $(0, 2)$ na ose $y$ je kolmým průmětem množiny $M$ na osu $y$ .

K "vnitřnímu" intervalu $(-y , 0)$ dospějeme takto:

1) zvolíme $y \in (0, 2)$ ,
2) rovnoběžka s osou $x$ vedená bodem $[0 , y]$ má s množinou $M$ (neprázdný) průnik, který označíme $M_y$ ,
3) kolmým průmětem množiny $M_y$ do osy $x$ je v našem případě interval $(-y , 0)$ . *)

K ekvivalentnímu vyjádření množiny $M$ pro záměnu pořadí integrací je potřeba v předchozím postupu zaměnit úlohy
souřadnicových os. Tj. začneme nalezením průmětu množiny $M$ na osu $x$ atd. analogicky jako v postupu předchozím.

*) POZNÁMKA.
Pokud bychom vyšli od množiny $M$ , pak kolmým průmětem množiny $M_y$ do osy $x$ by u složitější množiny $M$
mohla být složitější množina než interval, například disjunktní sjednocení intervalů . Příslušný vnitřní integrál
bychom nahradili součtem integrálů přes tyto dílčí intervaly.
Obecně je tato situace řešena integrálem v Lebesgueově smyslu, kde třída množin, přes které lze integrovat,
je poměrně široká.

jelena · 26. 08. 2013 12:31

↑ Rumburak:

Zdravím,

(doporučuji - narozdíl od p. prof. Rektoryse - integrál vlevo důsledně považovat za dvojnásobný a nikoli za dvojrozměrný čili dvojný)

Tedy formu zápisu $\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ považovat za dvojnásobný. V Rektorysovi k tomu není uveden název, jen, že to je forma přepisu dvojného.
Přes množinu M ve formě zde nalevo jedině považovat za dvojný: $\iint_M f(x, y)\d x \d y=\int_c^d$\int_{f_1(y)}^{f_2(y)}f(x,y)\d x$\d y$ napravo za dvojnásobný (to už má uvedeno v Rektorysovi jako dvojnásobný). Děkuji.

O důsledném zapisování pořadí proměnných v dxdy nebo dydx jsme už v některém tématu psali - pokusím se soustředit a najít. Spíš mi přišlo, že pro začáteční nácvik je dobře přepisovat na dvojnásobný, aby bylo více jednoznačné - zejména, když se to popisuje takto, bez možnosti rychlého upřesnění na obrázku. Má to tak smysl? Děkuji.

JuicyKstrow

↑ jelena:Ještě jednou děkuju. Popíšu postup dalšího příkladu.
$\int_{0}^{1}\int_{-2x}^{0}f(x,y)dydx$
nejprve jsem si napsala $0<x<1$ a $-2x<y<0$ odtud jsem došla k $x>-\frac{y}{2}$ . Z obrázku jsem vyčetla, že $-2<y<0$ , to mi až takový problém nedělá, proto se jen ujistím - $-\frac{y}{2}<x<1$ ? Tím pádem
$\int_{0}^{1}\int_{-2x}^{0}f(x,y)dydx = \int_{-2}^{0}\int_{-\frac{y}{2}}^{1} f(x,y)dxdy$ ? Jestli to mám zase špatně, tak se snad začnu považovat za beznadějný případ.

________________________________________________________________________________________________

$\int_{0}^{2}\int_{0}^{x^{3}} f(x,y)dydx=\int_{0}^{8}\int_{0}^{\sqrt[3]{y}}f(x,y)dxdy$

________________________________________________________________________________________________

$\int_{-1}^{0}\int_{0}^{x^{2}}f(x,y)dydx=\int_{0}^{1}\int_{-1}^{\sqrt{y}}f(x,y)dxdy$

Rumburak

↑ jelena:

Ahoj. Nevím, zda jsem zcela pochopil podstatu Tvého posledního dotazu, nicméně budu se držet historické rady M. Horníčka K. Gottovi:

"Ať se Vás ptají na cokoliv, odpovídejte pouze to, co víte. "

1) U dvojného integrálu $\iint_M f(x, y)\,\d x\, \d y$ s hlediska jeho obecné definice jsou proměnné $x, y$ naprosto rovnocenné,
liší se jen svým významem pro funkci $f$ a množinu $M$ , nikoli svým významem pro dvojný integrál jako takový. Definice dvojného
integrálu ani nepředpokládá, že se výpočet pak bude provádět nejakými postupnými integracemi jednorozměenými, takže hovořit
zde o nich by nemělo smysl. Bez rozpaků lze také psát

$\iint_M f(x, y)\,\d x\, \d y = \iint_M f(x, y)\,\d y\, \d x$ ,

tedy zaměnit pořadí $\d x , \d y$ . Tyto pomocné symboly historicky značené jako diferenciály udávají zde pouze výčet proměnných
funkce $f$ , jichž se integrace týká (funkce by mohla mít i další proměnné fungující pak jako parametry integrálu).

2) Že se dvojný integrál dá spočíst pomoí dvou do sebe vnořených jednorozměrných integrací postupně dle propěnných $x, y$ ,
toť druhá věc daná teprve Fubiniovou větou, z níž navíc plyne, že teoreticky je jedno, jaké pořadí při tom těmto proměnným
přisoudíme, pokud s nimu budeme nakládat tomu odpovídajícím způsobem. Vyjádřeno vzorcem:

$\iint_M f(x, y)\,\d x\, \d y = \int_{X(M)} $\int_{Y(M_{x, .})}f(x, y)\,\d y$ \d x = \int_{Y(M)} $\int_{X(M_{., y})}f(x, y)\,\d x$ \d y$ ,

kde symboly $X, Y$ označují po řadě kolmé projekce na osy $x, y$ , $M_{a, .}$ je průnik množiny $M$ s přímkou o rovnici $x = a$ ,
$M_{., b}$ je průnik množiny $M$ s přímkou o rovnici $y = b$ . "Obří" závorky pro pohodlí vynecháváme a píšeme stručněji

(1) $\iint_M f(x, y)\,\d x\, \d y = \int_{X(M)} \int_{Y(M_{x, .})}f(x, y)\,\d y\,\d x = \int_{Y(M)} \int_{X(M_{., y})}f(x, y)\,\d x \,\d y$ .

Zde narozdíl od dvojného integrálu už pořadí $\d x , \d y$ je svázáno s pořadím jednorozměrných integrálů (vnější $\d t$ odpovídá
vnějšímu integrálu, vnitřní vnitřnímu), jehož změnu lze korektně provést pouze podle vzorce (1).

Místo (1) se někdy píše (řekl bych, že zejména v ruské literatuře, jak patrně víš)

$\iint_M f(x, y)\,\d x\, \d y = \int_{X(M)} \d x\int_{Y(M_{x, .})}f(x, y)\,\d y = \int_{Y(M)} \d y\int_{X(M_{., y})}f(x, y)\,\d x$ .

Tak doufám, že jsem to nějak nepomotal. :-)

jelena · 26. 08. 2013 19:52

↑ JuicyKstrow:

děkuji, doufám, že jsem nic nepřehlédla při kontrole a záměna mezí v příspěvku 12 mi vyšla stejně.

↑ Rumburak:

děkuji velice. Drobné nedorozumění zřejmě vzniklo, že kolegyně ↑ JuicyKstrow: v úplně prvním příspěvku použila "dvojný", ale v celém tématu "dvojný integrál" ani by neměl mít místo, jelikož záměna mezí má smysl u dvojnásobného (v každé formě jeho zápisu - viz ↑ Rumburak:). Pojem "dvojný" bychom v tomto tématu ani pořádně nevyžili - je tak?

Tak doufám, že jsem to nějak nepomotal. :-)

také doufám :-)

JuicyKstrow · 26. 08. 2013 20:03

↑ jelena:Uuuuf, tak to jsem ráda, že jsem konečně pochopila. :-) Mnohokrát vám děkuju za vyčerpávající odpovědi a ochotu, jste moc hodná.

jelena · 26. 08. 2013 20:07

↑ JuicyKstrow:

pokud jde o přínos odpovědí, všímej si především příspěvků kolegy Rumburaka.

Dobře, že se problém projasňuje.

Matematické Fórum

#1 24. 08. 2013 10:03

Záměna pořadí integrace - meze

#2 24. 08. 2013 12:20

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#3 24. 08. 2013 15:59

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#4 24. 08. 2013 17:41

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#5 24. 08. 2013 20:03

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#6 25. 08. 2013 10:08

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#7 25. 08. 2013 13:35 — Editoval jelena (25. 08. 2013 13:38)

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#8 25. 08. 2013 14:31 — Editoval JuicyKstrow (25. 08. 2013 14:35)

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#9 25. 08. 2013 17:48

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#10 26. 08. 2013 10:43 — Editoval Rumburak (26. 08. 2013 12:24)

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#11 26. 08. 2013 12:31

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#12 26. 08. 2013 12:34 — Editoval JuicyKstrow (26. 08. 2013 13:26)

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#13 26. 08. 2013 17:13 — Editoval Rumburak (27. 08. 2013 11:27)

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#14 26. 08. 2013 19:52

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#15 26. 08. 2013 20:03

Re: Záměna pořadí integrace - meze

#16 26. 08. 2013 20:07

Re: Záměna pořadí integrace - meze

Zápatí