Matematické Fórum

Keeeeke

Cau,
mám pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, platí že AB=2, AV=4. Urči velikost odchylky sousedních stěn. Mám počítat analyticky a volit soustavu souřadnic tak, aby počátek byl v bodě A. Dotaz: můžu si pomocí Pythagorovy věty dopočítat souřadnice vrcholu nebo ne?
Diky

Edit: Otazka 2: at pocitam jak pocitam vychazi mi 93,82° - je to možné??

N3st4 · 26. 08. 2013 21:34

Ahoj.

Ten vrchol môžeš dopočítať cez pytagorovu vetu.
Teraz neviem či potrebuješ pomôcť aj s tým uhlom ... ?

Keeeeke · 26. 08. 2013 21:40

↑ N3st4:
Myslim, ze vim jak na to: urcim souradnice vrcholu V a vypocitam normalove vektory sousednich sten a pak vypocitam odchylku tech normalovych vektrou. Nemuzu se vsak dopocitat stejneho vysledku analyticky a synteticky... Vychází mi 86.17°, 88.09°, 87.19°, 87.07, 93.82 - jak to vychází Tobě?

Díky

N3st4 · 26. 08. 2013 21:48

Ja som to myslel presne cez tie normalové vektory. Podľa mňa by ten výsledok mal byť rovnaký u všetkých stien, veď je to pravidelný útvar. Idem spočítať nejaký ten uhol.

N3st4 · 26. 08. 2013 22:03 — Editoval N3st4 (26. 08. 2013 22:05)

Vychádza mi to 86.18°. Ako si to počítal bez norm. vektorov?

Ak zaokrúhluješ, tak je všetko ok, až na ten výsledok 93°

Honzc · 27. 08. 2013 07:04

↑ N3st4:
Nevím co jsi zaokrouhloval, ale $\cos \alpha =\frac{1}{17}\Rightarrow \alpha \approx 86.6277133^\circ$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

N3st4 · 27. 08. 2013 09:01

Ja som nezaokrúhľoval nič, ako si dostal tie vektory?
Mne vychádzajú
$n_{1}=(0,-2\sqrt{14},2)$
$n_{2}=(2\sqrt{14},0,2)$
A potom $cos\alpha =1/15$

Honzc · 27. 08. 2013 13:06 — Editoval Honzc (27. 08. 2013 13:42)

↑ N3st4:
Protože stěny jsou roviny, tak vlastně určujeme odchylku (úhel) dvou rovin, který se spočítá jako
$\cos \alpha =\frac{|\vec{n_{1}}\cdot \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}|\cdot |\vec{n_{2}}|}$
Rovnice roviny $ax+by+cz+d=0$ má normálový vektor $\vec{n}=(a,b,c)$
Rovnice roviny daná 3 body se vypočítá jako
$\begin{vmatrix} x & y & z & 1\\ x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1\\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1\\ x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1 \end{vmatrix}=0$
pak
$a=\begin{vmatrix} y_{1} & z_{1} & 1\\ y_{2} & z_{2} & 1\\ y_{3} & z_{3} & 1 \end{vmatrix}$
$b=-\begin{vmatrix} x_{1} & z_{1} & 1\\ x_{2} & z_{2} & 1\\ x_{3} & z_{3} & 1 \end{vmatrix}$
$c=\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & 1\\ x_{2} & y_{2} & 1\\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{vmatrix}$
Jsou-li body tvořící 1.rovinu (první stěnu) $[0,0,0],[2,0,0],[1,1,\sqrt{14}]$
2.rovinu (sousední stěnu) $[2,0,0],[2,2,0],[1,1,\sqrt{14}]$
pak jednoduchým výpočtem dostaneme
$\vec{n_{1}}=(0,-2\sqrt{14},2)=(0,-\sqrt{14},1)\\ \vec{n_{2}}=(2\sqrt{14},0,2)=(\sqrt{14},0,1)\:\:\:\:\:\:\:$

N3st4 · 27. 08. 2013 13:26

No to by šlo, ale vrchol V nemá surádnice (1,1,4), ale (1,1,sqrt(14)).
Vzdialenosť AV je 4. To neznamená že V má výšku 4.

Honzc · 27. 08. 2013 13:31 — Editoval Honzc (27. 08. 2013 13:35)

↑ N3st4:
Máš pravdu, chce to jenom umět číst, nebo si pořídit silnější brýle.
Tedy pak stačí zaměnit tam kde je $4$ za $\sqrt{14}$ a opravdu $\cos \alpha =\frac{1}{15}$

N3st4 · 27. 08. 2013 13:33

Skús to prepočítať, či to vyjde.

Matematické Fórum

#1 26. 08. 2013 21:10 — Editoval Keeeeke (26. 08. 2013 21:35)

Odchylka stěn

#2 26. 08. 2013 21:34

Re: Odchylka stěn

#3 26. 08. 2013 21:40

Re: Odchylka stěn

#4 26. 08. 2013 21:48

Re: Odchylka stěn

#5 26. 08. 2013 22:03 — Editoval N3st4 (26. 08. 2013 22:05)

Re: Odchylka stěn

#6 27. 08. 2013 07:04

Re: Odchylka stěn

#7 27. 08. 2013 09:01

Re: Odchylka stěn

#8 27. 08. 2013 13:06 — Editoval Honzc (27. 08. 2013 13:42)

Re: Odchylka stěn

#9 27. 08. 2013 13:26

Re: Odchylka stěn

#10 27. 08. 2013 13:31 — Editoval Honzc (27. 08. 2013 13:35)

Re: Odchylka stěn

#11 27. 08. 2013 13:33

Re: Odchylka stěn

Zápatí