Matematické Fórum

domin.a · 25. 08. 2013 11:44

Dobrý den, chtěla bych se zeptat na definici okolí bodu. Všude nacházím plno definic, ale nějak je nemůžu pochopit. Jako třeba tuhle:

Množinu {xÎR | a-e < x < a+e} nazýváme okolí bodu a. Číslo a nazýváme střed okolí, číslo e nazýváme poloměr okolí.

Značení: U(a,e)

Nevím ci se myslí tím a-e , a+e . Nevím jak zjistím poloměr okolí. Mohl by mi to někdo prosím vysvětlit na konkrétním příkladě? Děkuji

domin.a · 25. 08. 2013 11:45

domin.a napsal(a):
Dobrý den, chtěla bych se zeptat na definici okolí bodu. Všude nacházím plno definic, ale nějak je nemůžu pochopit. Jako třeba tuhle:

Množinu {xÎR | a-e < x < a+e} nazýváme okolí bodu a. Číslo a nazýváme střed okolí, číslo e nazýváme poloměr okolí.

Značení: U(a,e)

Nevím co se myslí tím a-e , a+e . Nevím jak zjistím poloměr okolí. Mohl by mi to někdo prosím vysvětlit na konkrétním příkladě? Děkuji

vanok · 25. 08. 2013 12:51

Ahoj ↑ domin.a:,
Co popisujes je specialne okolie daneho bodu a : otvorene e-okolie na priamke (co zodppveda otvorenemu centrovanemu intervalu zo stredom v a) ktore zodpoveda kruhovemu otvorenemu okolie v rovine (vtedy ide o otvoreny kruh okolo daneho bodu z priemerom e).
Trochu viac najdes tu
https://cs.wikipedia.org/wiki/Okol%C3%AD_(matematika)
A ak dokazes rozumiet mozes citât aj anglicku verziu.

zdenek1 · 25. 08. 2013 12:57

↑ domin.a:

buff · 27. 08. 2013 08:54

Tohle téma mě taky zajímá. Jedná se pouze o osu x?

zdenek1 · 27. 08. 2013 08:58

↑ buff:
V uvedené definici se o žádné určité ose nemluví. Je to prostě na přímce.

buff · 27. 08. 2013 09:05

Směl bych se zeptat na vzorec pro definici okolí v dvourozměrném prostředí ? Jestli to tedy není zakázáno lézt druhým do tématu :-) Zajímají mě pouze celý čísla (například okolí bodu x,y na obrazovce).

domin.a · 27. 08. 2013 15:43

↑ buff:

Děkuji za vysvětlení.

Rumburak · 27. 08. 2013 16:39

↑ buff:

Ahoj. Nechci odpověď příliš znepřístupňovat odbornou terminologií, takže jen poněkud populárně:

Pojem okolí můžeme zavést všude tam, kde pro libovolné prvky (body) $x, y$ nějaké množiny $M$ je definována jejich vzdálenost $d(x,y)$ .
Aby bylo rozumné hovořit o vzdálenosti, musí ovšem funkce $d$ pro libovolná $x, y, z \in M$ splńovat následující podmínky charakteristické
pro vzdálenost bodů v eukleidovské geometrii:

1. $d(x,y) \ge 0$ , při čemž $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ ,

2. $d(x,y) = d(y,x)$ ,

3. $d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$ .

Okolím bodu $a \in M$ o poloměru $r > 0$ pak nazýváme množinu všech $x \in M$ , pro něž je splněna nerovnost $d(a, x) < r$ .

Okolím bodu S v rovině je tedy vnitřek kruhu o středu S a nějakém poloměru r > 0 ("vnitřek" znamená, že hraniční kružnici už k tomuto
okolí nepočítáme), obdobně okolím bodu S v prostoru je vnitřek koule o středu S a nějakém poloměru r > 0 atd.

Pomocí pojmu "okolí" se dají zformulovat mnohé definice a věty matematické analýzy, například i Tobě již známá definice vlastní limity:

$\lim_{x \to a} f(x) = L \in \mathbb{R}$ , právě když k libovolnému okolí $U$ bodu $L$ existuje okolí $V$ bodu $a$ takové,
že pro každé $x \in V \wedge x \ne a$ je $f(x) \in U$ .