Matematické Fórum

maxmilian · 27. 08. 2013 21:48

Ahoj...Napíšu tady dvě úlohy které jsou si celkem podobné. Lepší než psát zbytečně dvě témata, když to můžu napsat do jednoho.Tak snad bude vědět co sním.. Protože já ani máma vůbec nevěděla...Pokoušeli jsme se, ale pořád nic.

První úloha " Vzdálenost z Prahy do Příbrami je 60km. Z obou měst vyjela současně proti sobě nákladní auta. Auto z Prahy jelo průměrnou rychlosti o 6km/h větší než auto z Příbrami, a tak v okamžiku setkání ujelo o 4km více.Určete průměrnou rychlost jednotlivých aut a dobu, kdy se auta setkala.
Můj nápad byl že na konci rovnice bude 60Km... ale pak mě napadlo že to bude asi soustava rovnic.Úloh sem dělal hodně, ale vždycky jen že jeli stejným směrem a né proti sobě a za dva dny mám reparát...Takže to celkem dost spěchá...

Druhá úloha " Mezi dvěma přístavišti na řece jede parník. Cesta tam a zpět mu trvá 3hodiny a 45minut. Po proudu pluje rychlostí 12km/h a proti proudu rychlostí 8km/h. Vypočítejte vzdálenost mezi přístavišti. Tady mě napadlo udělat průměrnou rychlost a vydělit to 14/5 (zlomek kolik je to celkem hodin), ale nic bych tím asi nevyřešil....Prosím o radu děkuji.

marnes · 27. 08. 2013 23:26

↑ maxmilian:

60=v(praha).t+v(příbram).t v(praha)=v(příbram)+6 v(praha)=v1 v(příbram)=v2

s(praha)=32 km
s(příbram)=28 km

32=v1.t

32=(v2+6).t
28=v2.t

soustava - dořešíš

marnes · 27. 08. 2013 23:30

↑ maxmilian:
Druhá úloha " Mezi dvěma přístavišti na řece jede parník. Cesta tam a zpět mu trvá 3hodiny a 45minut. Po proudu pluje rychlostí 12km/h a proti proudu rychlostí 8km/h. Vypočítejte vzdálenost mezi přístavišti. Tady mě napadlo udělat průměrnou rychlost a vydělit to 14/5 (zlomek kolik je to celkem hodin), ale nic bych tím asi nevyřešil....Prosím o radu děkuji.

t1+t2=3,75 t1 tam t2 zpět

12.t1=8.t2

dořešíš soustavu

maxmilian · 28. 08. 2013 09:55

↑ marnes: Nějak mi to nevychází... Vyšlo mi 4/6 = 40minut... což vychází podle výsledků z učebnice ale rychlost mě vyšla 7 km/h cože je špatně.... Co mám dělat :( ?

maxmilian · 28. 08. 2013 10:11

↑ marnes: Ani u té druhé nevím jakto spočítat...:/ Mohl by jsi mi pomoct?

Cheop · 28. 08. 2013 10:17 — Editoval Cheop (28. 08. 2013 10:22)

↑ maxmilian:
Rychlost prvního vyjde:
$v_1=\frac{32}{\frac 23}\\v_1=48$
Rychlost druhého pak o 6 km/h méně tj. 42 km/h

maxmilian · 28. 08. 2013 10:28

↑ Cheop: Ano výsledek vím z čebnice....Já nevím ten postup jak k tomu přijít...Ten bych potřeboval...:/ Ani nevím jestli zvolit sčítací nebo dosazovací metodu.

Cheop · 28. 08. 2013 10:32

↑ maxmilian:
Máme rovnice:
$t_1+t_2=3,75\\12t_1=8t_2$
A dále víme že vzdálenost mezi přístavišti je:
$12t_1=8t_2\\3t_1=2t_2\\t_1=\frac{2t_2}{3}$ - dosadíme do první rovnice a dostaneme:
$t_1+t_2=3,75\\\frac{2t_2}{3}+t_2=3,75\\5t_2=11,25\\t_2=2,25$
Vzdálenost mezi přístavišti je:
$s=8t_2\\s=8\cdot 2,25=18\,\rm{km}$
A máš hotovo

maxmilian · 28. 08. 2013 11:15

↑ Cheop: Jakou metodu si zvolil u toho jak jsi počítal to t1 ? Jinak to celkem chápu...Byl bys tak hodný a takhle rozepsal i tu druhou úlohu? Prosím, prosím :D Ale hlavně nechápu to t1... Jsou dvě metody. Sčítací a dosazovací.... ale nevidím ani jednu použitou u toho t1.

maxmilian · 28. 08. 2013 11:17

↑ maxmilian: Mě teda takhle napadlo tu první rovnici vynásobit -12cti abych se zbavil těch t1iček, ale co dál bych už nevěděl...Proč si to nevynásobil těmi dvanácti...Ale "jaksi" to jen krátil

Cheop · 28. 08. 2013 11:18 — Editoval Cheop (28. 08. 2013 11:21)

↑ maxmilian:
No použil jsem metodu dosazovací vždyť jsem za t_1 dosadil:
$t_1=\frac{2t_2}{3}$ a dostal jsem:
$t_1+t_2=3,75\\\frac{2t_2}{3}+t_2=3,75$
Z této rovnice:
$12t_1=8t_2$ - vyjádříme t_1
$12t_1=8t_2\\t_1=\frac{8t_2}{12}=\frac{2t_2}{3}$
a to dosadíme do rovnice:
$t_1+t_2=3,75\\\frac{2t_2}{3}+t_2=3,75$ a vypočítáme t_2

maxmilian

↑ Cheop: ANO ANO ! UŽ TO VIDÍM!!! VYJÁDŘÍL SI T1. A jak by to vypadalo pomocí sčítací metody? Bylo by to složitější? To by se ta první rovnice vynásobila dvanácti.... a to by něco vyšlo.... a pak bych musel co čím vynásobit abych mohl vyjádřit další neznámou? (vím že by to co mi vyjde tou sčítací by potom šlo dosadit pomocí dosazovací, ale já teď myslím čistě sčítací metodou.) A poradíš mi prosím ještě s těma rovnicemi u té úlohy s Auty?

Cheop · 28. 08. 2013 11:43

↑ maxmilian:
Kdybychom chtěli použít sčítací metodu:
Máme:
$t_1+t_2=3,75\\12t_1=8t_2\\12t_1-8t_2=0$
Máme tedy:
$t_1+t_2=3,75\\12t_1-8t_2=0$ - první rovnici vynásobíme 8 a sečteme:
$8t_1+8t_2=30\\12t_1-8t_2=0\\20t_1=30\\t_1=\frac 32$
a potom vzdálenost mezi přístavišti je 12t_1 tj:
$s=12t_1=12\cdot\frac 32=18\,\rm{km}$

maxmilian · 28. 08. 2013 11:54

↑ Cheop: Aha..A nešlo by tu první vynásobit -12cti ? a pak pokračovat dál? Nebo by to bylo zbytečně složité?

Cheop · 28. 08. 2013 11:59 — Editoval Cheop (28. 08. 2013 12:31)

↑ maxmilian:
A tedˇta auta:
Auto z Prahy jelo o 6 km/h rychleji než auto z Příbrami a ujelo o 4km více.
Pokud označím:
v - rychlost auta z Prahy
v-6 - rychlost auta z Příbrami.
Obě auta vyjela současně tj než se setkala byl jejich čas t stejný.
Obě auta dohromady musela ujet vzdálenost Praha-Příbram = 60km
Rovnice:
$(v+v-6)t=60\\2vt-6t=60\\vt-3t=30$
Auto, které jede z Prahy ujede vzdálenost $s=vt$ a ujede o 4 km více než auto z Příbrami
Ujede tedy:
$\frac{60+4}{2}=32\,\rm{km}$ - dosadíme za vt a dostaneme:
$vt-3t=30\\32-3t=30\\3t=2\\t=\frac 23$ čas, který auta stráví na cestě než se setkají je 2/3 hodiny.
Za 2/3 hodiny ujede auto z Prahy 32 km jeho rychlost tedy je:
$v=\frac{32}{\frac 23}\\v=\frac{3\cdot 32}{2}=\\v=48\,\rm{km/h}$
Rychlost auta z Příbrami je o 6 km nižší tj. 48 - 6 = 42 km/h
A je hotovo.