Matematické Fórum

Durix · 24. 06. 2013 18:00 — Editoval Durix (24. 06. 2013 18:49)

Zdravím,
normálně mi slovní úlohy jakéhokoli druhu nedělají problém. Nevím, jestli to je tím horkem nebo entuziasmu z prázdnin, ale tyhle příklady mi nějak nelezou do hlavy.

1) Z města A do města B je to po silnici 60km. Z obou měst vyjely současně proti sobě Velorexy. Ten z města A jel v průměru o 6km/h rychleji, a tak v okamžiku setkání ujel o 4km více. Určete průměrnou rychlost Velorexů a dobu, kdy se setkaly.

2) Mezi dvěma přístavišti na řece jezdí parník. Cesta tam a zpět mu trvá 3h a 45min. Po proudu pluje rychlostí 12 km/h, proti proudu 8 km/h. Jaká je vzdálenost mezi přístavišti.

Prosil bych o vysvětlení, předem díky. :)

Edit: Omlouvám se za chybku v druhém příkladě (parník-přístaviště)

Cheop · 24. 06. 2013 18:28 — Editoval Cheop (24. 06. 2013 21:09)

↑ Durix:
1)
Označíme:
v - rychlost toho pomalejšího velorexu
v+6 - rychlost toho rychlejšího
t - čas po který oba velorexy jely než se potkaly.
Ten rychlejší dle zadání ujel o 4 km více než ten pomalejší
Tedy platí:
$(v+6)t-vt=4\\vt+6t-vt=4\\6t=4\\t=\frac 23$
Máme odpověď na otázku kdy se potkaly:
Potkaly se za 2/3 hodiny = za 40 minut po vyjetí.
Určíme rychlosti:
Oba velorexy musely ujet dohromady 60km a víme, že to jely 2/3 hodiny tedy:
$vt+(v+6)t=60\\2vt+6t=60\\2v\cdot\frac 23+4=60\\\frac{4v}{3}=56\\\frac v3=14\\v=42$
Rychlost pomalejšího je 42 km/h toho rychlejšího pak 48 km/h.

U druhého příkladu nerozumím otázce - "Jaká je vzdálenost parníku"
Nemá to být takto: Jaká je vzdálenost mezi přístavišti ?

peter_2+2

↑ Durix:
Ahoj,

asi budeš souhlasit s tím, co je snad jasné, tedy že obě auta jela proti sobě, když se střetla, rychlejší vozidlo - to které vyjíždělo z místa A - mělo najeto o 4km více.

Pojmenujme ho třeba vozidlo A, druhé pak vozidlo B.

Určitě dokážeš odvodit, alespoň věřím, jakou vzdálenost ujelo vozidlo A a jakou vozidlo B, jistě lépe než já, mně se to totiž napoprvé nepovedlo.

Určitě semnou budeš taky souhlasit, že obě vozidla jela stejný čas, jelikož podle zadání vyjela současně, poté se mluví o okamžiku setkání, to bude, myslím, doba také stejná pro obě vozidla. Pokud je počátek i konec ve stejném čase, pak je třeba uvažovat, jaké jsou časy jízdy obou vozidel mezi počátkem a koncem, zda jsou stejné nebo různé.

Když se potom podíváme na samu dráhu, čas a to co je mezi nimi, tak zvaná rychlost, možná nám to pomůže při řešení.

Totiž zapisuje se asi něco takového:

s=v*t

Tedy z času lze zjistit dráhu, tyto věci se jistě vyskytují u obou aut, obě totiž ujely nějakou dráhu, za nějaký čas a otázkou zůstává, jakáže k tomu patří rychlost.

s(a)=v(a)*t(a)

s(b)=v(b)*t(b)

"a" pro auto "A" a "b" pro auto "B"

Jistě se dá zjistit, že zatímco obě auta jela stejný čas, neurazila stejnou vzdálenost, nýbrž že mezi vzdálenostmi je nějaký poměr. Dejme tomu, že je to třeba poměr 32:28 nebo chceš-li 32/28 dráha"A"/dráha"B".

Tedy dráha A bude asi nějakým způsobem větší, než dráha B, otázka je, čím to bude způsobeno, že bude větší? vždyť asi né tím, co se skrývá za písmenkem "t", vždyť to je čas a ten je stejný.

A tedy dráha A k dráze B je 32:28 pak tedy asi díky tomu, že rychlost A je proti rychlosti B v poměru 32:28, tedy v(a)=32/28*v(b).

Asi semnou budeš souhlasit, že podle zadání rychlost "a" je o 6km/h větší, než rychlost "b".

Jde z toho zjistit, jaké budou rychlosti obou aut nebo k tomu ještě něco potřebujeme?

Cheop · 24. 06. 2013 21:04 — Editoval Cheop (25. 06. 2013 10:55)

↑ Durix:
2)
Asi nejjednodušší je toto:
a) určíme průměrnou rychlost při cestě tam a zpátky jako harmonický průměr rychlostí
b) určíme vzdálenost mezi přístavišti jako 1/2 vzdálenosti, kterou parník ujede vypočtenou průměrnou rychlostí z bodu a) a zadaným časem.
$v=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}=\frac{2\cdot 12\cdot 8}{12+8}=\frac{48}{5}\,\rm{km/h}$ ¨
$s=\frac{v\cdot t}{2}=\frac 12\cdot\frac{48}{5}\cdot\frac {15}{4}=18\,\rm{km}$
Vzdálenost mezi přístavišti je 18 km.
PS:
15/4 = 3 hodiny a 45 minut (zadaný čas na cestě tam a zpátky).

petrik_ch · 07. 07. 2013 22:29

Priklad c-2 - ako pise cheop - ale priemernu rychlost - tam nema byt dvojka: $v=\frac{v_1v_2}{v_1+v_2}$ .

http://www.hackmath.net/cz/priklad/719

Ta dvojka v cheopovom prispevku mi uplne jasna nie je (aj ked v nasobi dvoma a s deli dvoma) - ale vysledky vyjdu roznym postupom rovnake

Cheop · 08. 07. 2013 06:42 — Editoval Cheop (10. 07. 2013 11:59)

↑ petrik_ch:
Zdravím:
Průměrná rychlost je na celém úseku tj. na vzdálenosti tam a zpátky.
Vzdálenost mezi přístavišti je polovina vzdálenosti(tam a zpátky). čili:
$s=\frac{v_1\cdot v_2\cdot t}{v_1+v_2}$

PS: Tvým přístupem by byla průměrná rychlost 4,8 km/h, což je zjevně špatně, když jsou rychlosti:
12 km/h při jedné cestě a 8 km/h při druhé cestě.

vitked · 29. 08. 2013 14:20

Ahoj, potřebovala bych poradit se slovní úlohou se kterou si vůbec nevím rady.

Etapa cyklistického závodu se jela průměrnou rychlostí 45km/h. Jeden závodník ztratil defektem 4 minuty. Jak dlouho a jak daleko musel jet rychlostí 50km/h, aby opět dostihl peleton?

Děkuji za odpověď. :)

Cheop · 29. 08. 2013 14:49 — Editoval Cheop (29. 08. 2013 14:53)

↑ vitked:
Řešíme:
$45\left(t+\frac{1}{15}\right)=50t$ z tohoto zjistíš jak dlouho ten cyklista doháněl peleton (1/15 = 4 minuty).
Kolik km ujel je dán vztahem:
$s=50t$

Matematické Fórum

#1 24. 06. 2013 18:00 — Editoval Durix (24. 06. 2013 18:49)

Slovní úlohy o pohybu

#2 24. 06. 2013 18:28 — Editoval Cheop (24. 06. 2013 21:09)

Re: Slovní úlohy o pohybu

#3 24. 06. 2013 18:30 — Editoval peter_2+2 (24. 06. 2013 19:01)

Re: Slovní úlohy o pohybu

#4 24. 06. 2013 21:04 — Editoval Cheop (25. 06. 2013 10:55)

Re: Slovní úlohy o pohybu

#5 07. 07. 2013 22:29

Re: Slovní úlohy o pohybu

#6 08. 07. 2013 06:42 — Editoval Cheop (10. 07. 2013 11:59)

Re: Slovní úlohy o pohybu

#7 29. 08. 2013 14:20

Re: Slovní úlohy o pohybu

#8 29. 08. 2013 14:49 — Editoval Cheop (29. 08. 2013 14:53)

Re: Slovní úlohy o pohybu

Zápatí