Matematické Fórum

Tomas5 · 30. 08. 2013 11:33

Dobrý den.
Prosím, potřebuju pomoci s tímto příkladem:
Zadání:
a) Dokažte, že existuje míra, definovaná v $\sigma$ algebře na Borelových množinách v $\mathbb{R}$ , taková, že platí pro $\forall a<b : \space \mu (a,b]= arctan \space b - arctan \space a$
b) Spočtěte integrál $\int_{0}^{1}f \space \text{d}\mu$ , jestliže $f(x)= 2x$ pro $\forall x \in \mathbb{R}.$
c) Jakou hodnotu má $\mu (\mathbb{R})$ ?

Za cca 2 hodiny pošlu vlastní postup , děkuji.

Rumburak

Ahoj.

Platí $\mu (a,b]=\arctan \space b - \arctan \space a = \int_a^b \frac{1}{x^2+1}\,\d x$ , to zobecníme na $\mu(A) := (L)\int_A \frac{1}{x^2+1}\,\d x$
(Lebesgueúv integrál přes Lebesguovsky měřitelnou množinu $A$ .) Viz též Radonova-Nikodýmova věta.

Tomas5 · 30. 08. 2013 15:10

Dobrý den,

můj postup
a) protože integrál konverguje a výsledek je menší než $+\infty$ je měřitelný.
Funkce $f$ monotonní (funkce arctg je rostoucí), protože platí, jestliže $a<b$ , $F(b)-F(a)=\mu (a,b)\ge 0$ a $f$ je spojitá zprava, potom pro $x<x_{n}$ a ${x_{n}}\to {x}^{+}$ máme $(x,x_{n}]= \emptyset$ a také platí $(x,x_{1}]<+\infty$ , ale co dál?

Nebo platí $f^{+}(x)= max {({{f^{+}}{(x)}}},0)$ ?
c) je $\sigma$ algebra 2.třídy, výsledek je $\inf{(arctg\space\text{a},arctg\space\text{b}})$ ?
b) Asi se počítá limita posloupnosti $\lim_{A\to\infty }\int_{a}^{b}\mu (a,b) d\mu$ nebo $\lim_{A\to\infty }\int_{a}^{b}f (a,b) d\mu$ .
Omlouvám se za případné chyby a prosím o opravu. Děkuji Vám.

Rumburak

Pro případ, že jste L-integrál ještě nebrali (EDIT: ale úloha b naznačuje, že jste ho brali), napadlo mne následující:

Funkce $\arctan$ (označme ji stručně $\Phi$ ) je homeomorfismem $\mathbb{R}$ na $$-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} $$ .
To znamená, že množina $M \subseteq \mathbb{R}$ se zobrazí na množinu $\Phi(M) \subseteq $-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}$$ téhož topologického typu jako $M$ .
Spaciálně $\Phi(M)$ je borelovská, právě když $M$ je borelovská.

Je-li $\lambda$ míra definovaná na Borelových množinách v $\mathbb{R}$ taková, že $\forall a<b : \space \lambda (a,b]= b - a$ (například Lebesgueova míra),
potom definicí $\mu(B) := \lambda (\Phi(B)) , B \subseteq \mathbb{R} \text{borelovská}$ obdržíme míru požadovaných vlastností.

EDIT. Poněkud jsme se minuli :-) .

Tomas5 · 30. 08. 2013 15:34

Dobrý den, ten příklad je ze skript (budeme to brát za rok), ale protože nevím, jak se to počítá v praxi tak v příspěvku 3 asi píšu samé nesmysly.

Topologické prostory jsme dělali, ale homeomorfismus neznám.

Rumburak

↑ Tomas5:

Upřímně řečeno, ten příspěvek 3 opravdu není moc smysluplný a uklidnilo mne, žes to sám uznal. :-)
(Většinou si zde tykáme, což mi celkem vyhovuje.)

Jde o úlohu spíše znalostního než početního typu , jediné, co je tam k počítání, je

$\int_{0}^{1}f \space \text{d}\mu = \int_{0}^{1}f (x) \cdot \frac{1}{x^2+1}\,\d x = \int_{0}^{1}\frac{2x}{x^2+1}\,\d x = ... = \ln 2$

Homeomorfismus je bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení) mezi dvěma topologickými prostory, které je spojité "tam i zpět"
(čili také inversní zobrazení je spojité).

Pokud cheš předběhnout studijní plány, tak si nastuduj teorii Lebesgueova integrálu např. z Jarníkovy I2 (on tam $\int_{A}f \space \text{d}\mu$
nazývá Lebesgue-Stieltjesovým integrálem, ale někdo používá označení abstraktní Lebesgueúv integrál).

Matematické Fórum

#1 30. 08. 2013 11:33

Teorie míry a integrálu

#2 30. 08. 2013 11:57 — Editoval Rumburak (02. 09. 2013 10:39)

Re: Teorie míry a integrálu

#3 30. 08. 2013 15:10

Re: Teorie míry a integrálu

#4 30. 08. 2013 15:22 — Editoval Rumburak (30. 08. 2013 16:25)

Re: Teorie míry a integrálu

#5 30. 08. 2013 15:34

Re: Teorie míry a integrálu

#6 30. 08. 2013 16:09 — Editoval Rumburak (30. 08. 2013 16:16)

Re: Teorie míry a integrálu

Zápatí