Matematické Fórum

mulder · 27. 05. 2013 21:20

Zdravím matematické génia. Mám problém s tímto příkladem.
$\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}(x^{4})dx-4\int_{-1}^{1}(\frac{1}{(1+x^{2})^{2}})dx$
Děkuji za výpočet.

Jan Jícha · 27. 05. 2013 23:51

Ahoj, a co konkrétně není jasné?

mulder · 28. 05. 2013 06:13

↑ Jan Jícha:Hlavně ten druhý integrál jak vyřešit. První vím. Ten je $\frac{x^{5}}{5}$

stenly · 28. 05. 2013 09:33

↑ mulder:Ten druhý řeš rozkladem na parciální zlomky a výpočtem koeficientů A,B,C,D.

Freedy · 28. 05. 2013 10:33

Jak se rozloží ten poslední zlomek?
Já to zkoušel a vyšly mi nějaký nesmysly:
$\frac{1}{(x^2+1)^2} = \frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$
$1=(Ax+B)(x^2+1)+(Cx+D)(x^2+1)$
$1=Ax^3+Ax+Bx^2+B+Cx^3+Cx+Dx^2+D$
$1=(A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (A+C)x + (B+D)$
Jenže podle toho by mělo vycházet že:
$A+C=0$
$B+D = 0$
$A+C=0$
$B+D=1$
A druhý a čtvrtý řádek vyloučí jakýkoliv řešení. Nebo je tento rozklad špatny? popřipadě jak ho provést správně:

Jan Jícha · 28. 05. 2013 12:22

Já bych to spíš viděl na substituci:-)

Bati · 28. 05. 2013 12:48

↑ Jan Jícha:
To nepomůže, stejně tak jako parciální zlomky - už to přece je parciální zlomek. Je třeba chytře použít per partes, viz. http://math.feld.cvut.cz/mt/txtd/3/txc4db3h.htm .

Honzc · 28. 05. 2013 12:54

↑ stenly:
Rozklad na parciální zlomky mu moc nepomůže.
↑ Freedy:
Rozklad zase špatně.

Dá se odvodit rekurentní vztah (přes per partes, nebo derivací obecného výsledku)
$\int_{}^{}\frac{dx}{(1+x^{2})^{k+1}}=\frac{1}{2k}\frac{x}{(1+x^{2})^{k}}+\frac{2k-1}{2k}\int_{}^{}\frac{dx}{(1+x^{2})^{k}}$
Pro nás k=1
$\int_{}^{}\frac{dx}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{1}{2}\frac{x}{1+x^{2}}+\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{dx}{1+x^{2}}=\frac{1}{2}(\frac{x}{1+x^{2}}+arc\text{tg}x)+c$

Jenda358 · 28. 05. 2013 14:31

↑ Bati:
Myslím, že substituce by taky měla fungovat. Použijeme-li $x=\text{tg}y$ pro $y\in \left (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$ , samotná integrace bude velmi snadná. Horší bude pouze návrat k původní proměnné, ale se znalostí goniometrických vzorců je to také snadné.

Bati · 28. 05. 2013 15:17

↑ Jenda358:
Však se o tom taky píše v tom odkazu, který jsem uvedl. Problém ale je, že jednak ta substituce musí člověka napadnout a druhak se to vlastně vůbec neulehčí, jen se udělá analogický postup s goniometrickými funkcemi.

K.J. · 01. 09. 2013 15:48

↑ Freedy:Asi je ti to už k ničemu, ale máš to špatně vyřešeno... $\frac{Ax+B}{(x^2+1)}+\frac{Cx+D}{(x^2+1)^2}=\frac{1}{(x^2+1)^2}$

Eratosthenes · 04. 09. 2013 10:07

↑ mulder:

Ahoj,

$\int \frac 1 {(1+x^2)^2} dx=\int \frac {1+x^2-x^2} {(1+x^2)^2} dx= \int \frac 1 {1+x^2} dx - \int x\cdot \frac x {(1+x^2)^2} dx$

První integrál je tabulkový, druhý jednoduše per partes (u=x) a dostaneš výsledek dle ↑ Honzc:.

Matematické Fórum

#1 27. 05. 2013 21:20

určitý integrál

#2 27. 05. 2013 23:51

Re: určitý integrál

#3 28. 05. 2013 06:13

Re: určitý integrál

#4 28. 05. 2013 09:33

Re: určitý integrál

#5 28. 05. 2013 10:33

Re: určitý integrál

#6 28. 05. 2013 12:22

Re: určitý integrál

#7 28. 05. 2013 12:48

Re: určitý integrál

#8 28. 05. 2013 12:54

Re: určitý integrál

#9 28. 05. 2013 14:31

Re: určitý integrál

#10 28. 05. 2013 15:17

Re: určitý integrál

#11 01. 09. 2013 15:48

Re: určitý integrál

#12 04. 09. 2013 10:07

Re: určitý integrál

Zápatí