Matematické Fórum

roxen · 04. 09. 2013 23:18 — Editoval Stýv (04. 09. 2013 23:40)

Prosim o pomoc s vypoctem, zkousela jsem to substituci, ale zasekla jsem se hned na zacatku. Dekuji

$\int\frac{(3\mathrm{e}^{x}+5)}{\mathrm{e}^{2x}+4\mathrm{e}^{x}+5}\d x$

edit: dovolil jsem si opravit zápis v texu

Stýv · 04. 09. 2013 23:38

jakou substituci jsi zkoušela a kde jsi se zasekla?

roxen · 04. 09. 2013 23:48

$y=\mathrm{e}^{x}$
A pak nevim co dal s timhle
Integral (3y+5)/(y^2 +4y+5)
↑ Stýv:

K.J. · 05. 09. 2013 00:26

pokud y=e^x, potom du=e^x........tím pádem ti zustane $\int_{}^{)}\frac{3y+5}{e^x(y^2+4y+5)}=\int_{}^{)}\frac{3y+5}{y(y^2+4y+5)}$ Tohle lze řešit pomoci parciálních zlomků

roxen · 05. 09. 2013 00:33

Ale to y nejde vytknout kdyz neni i u te 5 ne ?
↑ K.J.:

roxen · 05. 09. 2013 00:39

Nic uz to mozna vidim, dekuji↑ roxen:

roxen · 05. 09. 2013 00:44

Stejne si nevim rady s temi parcialnimi zlomky
↑ K.J.:

Honzc · 05. 09. 2013 09:15 — Editoval Honzc (05. 09. 2013 09:17)

↑ roxen:
Rozklad na parciální zlomky: s: $e^{x}=t$
dostaneme: $\frac{3t+5}{t(t^{2}+4t+5)}=\frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{t^{2}+4t+5}$
$3t+5=A(t^{2}+4t+5)+(Bt+C)t$
metoda dosazovací:
$t=0:5=5A\Rightarrow A=1$
$t=1:8=10+B+C\Rightarrow B+C=-2$
$t=-1:2=2+(-B+C)(-1)\Rightarrow B-C=0$
a tedy $B=C=-1$
Pak máme
$\int_{}^{}\frac{1}{t}dt-\int_{}^{}\frac{t+1}{t^{2}+4t+5}dt=\int_{}^{}\frac{1}{t}dt-\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2t+4-2}{t^{2}+4t+5}dt=$
$=\int_{}^{}\frac{1}{t}dt-\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2t+4}{t^{2}+4t+5}dt+\int_{}^{}\frac{1}{(t+2)^{2}+1}dt=$
$=\ln t-\frac{1}{2}\ln (t^{2}+4t+5)+\text{arctg}(t+2)=$
$=x-\frac{1}{2}\ln (e^{2x}+4e^{x}+5)+\text{arctg}(e^{x}+2)+c$